https://r2.erweima.ai/mathbot/image/17183522412675x6dnvxt.jpeg

حل المسألة باللغة العربية 

لحل هذه المسألة، نحتاج إلى حساب التكامل:

\[
\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy
\]

سنستخدم التغيير في المتغيرات لتبسيط التكامل. دعنا نستخدم التغيير التالي:

\[
u = y + 2 \implies du = dy
\]

وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة التكامل على الشكل التالي:

\[
\int y^2 u^{\frac{1}{4}} \, du
\]

لكن بما أن \( u = y + 2 \)، يمكننا حل \( y \) بدلالة \( u \):

\[
y = u - 2
\]

وبالتالي، يصبح التكامل:

\[
\int (u - 2)^2 u^{\frac{1}{4}} \, du
\]

والآن، نحتاج إلى توسيع \( (u - 2)^2 \):

\[
(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4
\]

وعليه يصبح التكامل:

\[
\int (u^2 - 4u + 4) u^{\frac{1}{4}} \, du
\]

يمكننا الآن توسيع التكامل إلى ثلاثة تكاملات منفصلة:

\[
\int u^2 u^{\frac{1}{4}} \, du - 4 \int u u^{\frac{1}{4}} \, du + 4 \int u^{\frac{1}{4}} \, du
\]

وبتجميع الحدود نحصل على:

\[
\int u^{2 + \frac{1}{4}} \, du - 4 \int u^{1 + \frac{1}{4}} \, du + 4 \int u^{\frac{1}{4}} \, du
\]

\[
\int u^{\frac{9}{4}} \, du - 4 \int u^{\frac{5}{4}} \, du + 4 \int u^{\frac{1}{4}} \, du
\]

لحساب هذه التكاملات، نستخدم قاعدة التكامل الأساسي \( \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \):

\[
\int u^{\frac{9}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{13}{4}}}{\frac{13}{4}} = \frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}}
\]

\[
- 4 \int u^{\frac{5}{4}} \, du = -4 \cdot \frac{u^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} = -\frac{16}{9} u^{\frac{9}{4}}
\]

\[
4 \int u^{\frac{1}{4}} \, du = 4 \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{16}{5} u^{\frac{5}{4}}
\]

وبجمع النتائج نحصل على:

\[
\frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} u^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} u^{\frac{5}{4}} + C
\]

وأخيرًا، نستبدل \( u \) مرة أخرى بـ \( y + 2 \):

\[
\frac{4}{13} (y + 2)^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} (y + 2)^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} (y + 2)^{\frac{5}{4}} + C
\]

هل تحتاج إلى المزيد من التفاصيل أو لديك أي أسئلة؟ 

إليك بعض الأسئلة التي يمكنك طرحها:
1. كيفية حساب تكاملات أخرى معقدة؟
2. كيف أستخدم التغيير في المتغيرات بشكل فعال؟
3. ما هي القواعد الأساسية لحساب التكاملات؟
4. كيفية حل مسائل التفاضل والتكامل الخطية؟
5. ما هي الطرق المختلفة لتبسيط التكاملات؟

نصيحة: عندما تواجه تكاملاً معقدًا، حاول استخدام التغيير في المتغيرات أو تقسيم التكامل إلى أجزاء أبسط.

Learn how to solve the integration problem ∫ y^2 (y + 2)^{1/4} dy using variable substitution method. This problem demonstrates the application of integration techniques including variable change and decomposition. Suitable for advanced high school and college students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation