لحل هذه المسألة، نحتاج إلى حساب التكامل:
∫y2(y+2)41dy
سنستخدم التغيير في المتغيرات لتبسيط التكامل. دعنا نستخدم التغيير التالي:
u=y+2⟹du=dy
وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة التكامل على الشكل التالي:
∫y2u41du
لكن بما أن u=y+2، يمكننا حل y بدلالة u:
y=u−2
وبالتالي، يصبح التكامل:
∫(u−2)2u41du
والآن، نحتاج إلى توسيع (u−2)2:
(u−2)2=u2−4u+4
وعليه يصبح التكامل:
∫(u2−4u+4)u41du
يمكننا الآن توسيع التكامل إلى ثلاثة تكاملات منفصلة:
∫u2u41du−4∫uu41du+4∫u41du
وبتجميع الحدود نحصل على:
∫u2+41du−4∫u1+41du+4∫u41du
∫u49du−4∫u45du+4∫u41du
لحساب هذه التكاملات، نستخدم قاعدة التكامل الأساسي ∫undu=n+1un+1+C:
∫u49du=413u413=134u413
−4∫u45du=−4⋅49u49=−916u49
4∫u41du=4⋅45u45=516u45
وبجمع النتائج نحصل على:
134u413−916u49+516u45+C
وأخيرًا، نستبدل u مرة أخرى بـ y+2:
134(y+2)413−916(y+2)49+516(y+2)45+C
هل تحتاج إلى المزيد من التفاصيل أو لديك أي أسئلة؟
إليك بعض الأسئلة التي يمكنك طرحها:
- كيفية حساب تكاملات أخرى معقدة؟
- كيف أستخدم التغيير في المتغيرات بشكل فعال؟
- ما هي القواعد الأساسية لحساب التكاملات؟
- كيفية حل مسائل التفاضل والتكامل الخطية؟
- ما هي الطرق المختلفة لتبسيط التكاملات؟
نصيحة: عندما تواجه تكاملاً معقدًا، حاول استخدام التغيير في المتغيرات أو تقسيم التكامل إلى أجزاء أبسط.