https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1718275472202ameokuie.jpeg

حل المسألة باللغة العربية 

لحل التكامل المعطى:
\[ \int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy \]

نستخدم طريقة تغيير المتغيرات لجعل التكامل أسهل. لنقم بتعيين:
\[ u = y + 2 \]
إذن:
\[ du = dy \]
و:
\[ y = u - 2 \]

نعوض في التكامل الأصلي:
\[ \int (u - 2)^2 u^{\frac{1}{4}} \, du \]

نوسع القوس:
\[ \int (u^2 - 4u + 4) u^{\frac{1}{4}} \, du \]

نوزع \( u^{\frac{1}{4}} \):
\[ \int (u^2 u^{\frac{1}{4}} - 4u u^{\frac{1}{4}} + 4 u^{\frac{1}{4}}) \, du \]
\[ \int (u^{2.25} - 4u^{1.25} + 4u^{0.25}) \, du \]

نحسب التكامل لكل حد:
\[ \int u^{2.25} \, du - 4 \int u^{1.25} \, du + 4 \int u^{0.25} \, du \]

نستخدم قاعدة التكامل:
\[ \int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C \]

لذا:
\[ \int u^{2.25} \, du = \frac{u^{3.25}}{3.25} \]
\[ \int u^{1.25} \, du = \frac{u^{2.25}}{2.25} \]
\[ \int u^{0.25} \, du = \frac{u^{1.25}}{1.25} \]

نستبدل الحدود:
\[ \frac{u^{3.25}}{3.25} - 4 \cdot \frac{u^{2.25}}{2.25} + 4 \cdot \frac{u^{1.25}}{1.25} \]

نعيد \( u = y + 2 \) إلى التعبير:
\[ \frac{(y + 2)^{3.25}}{3.25} - 4 \cdot \frac{(y + 2)^{2.25}}{2.25} + 4 \cdot \frac{(y + 2)^{1.25}}{1.25} + C \]

وبالتالي يكون الحل النهائي هو:
\[ \frac{(y + 2)^{3.25}}{3.25} - \frac{4(y + 2)^{2.25}}{2.25} + \frac{4(y + 2)^{1.25}}{1.25} + C \]

هل تريد تفاصيل إضافية أو توضيحات أخرى؟

### أسئلة مقترحة:
1. كيف يمكنني استخدام تغيير المتغيرات في التكاملات؟
2. كيف يمكنني تبسيط التكاملات المعقدة؟
3. ما هي القاعدة العامة للتكاملات غير المحددة؟
4. كيف يمكنني التحقق من حلي للتكامل؟
5. ما هي الخطوات الأساسية في إيجاد الحلول التكاملية؟

### نصيحة:
عند التعامل مع التكاملات التي تحتوي على تعبيرات متعددة الحدود، حاول استخدام تغيير المتغيرات لتبسيط التعبير الأصلي وجعل عملية التكامل أكثر سهولة.

Learn how to solve the integration problem: integrate y^2 (y + 2)^(1/4) dy using variable substitution method. This problem involves advanced calculus techniques and variable transformation. Suitable for advanced high school students and undergraduate level learners.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation