لحل التكامل المعطى:
∫y2(y+2)41dy
نستخدم طريقة تغيير المتغيرات لجعل التكامل أسهل. لنقم بتعيين:
u=y+2
إذن:
du=dy
و:
y=u−2
نعوض في التكامل الأصلي:
∫(u−2)2u41du
نوسع القوس:
∫(u2−4u+4)u41du
نوزع u41:
∫(u2u41−4uu41+4u41)du
∫(u2.25−4u1.25+4u0.25)du
نحسب التكامل لكل حد:
∫u2.25du−4∫u1.25du+4∫u0.25du
نستخدم قاعدة التكامل:
∫undu=n+1un+1+C
لذا:
∫u2.25du=3.25u3.25
∫u1.25du=2.25u2.25
∫u0.25du=1.25u1.25
نستبدل الحدود:
3.25u3.25−4⋅2.25u2.25+4⋅1.25u1.25
نعيد u=y+2 إلى التعبير:
3.25(y+2)3.25−4⋅2.25(y+2)2.25+4⋅1.25(y+2)1.25+C
وبالتالي يكون الحل النهائي هو:
3.25(y+2)3.25−2.254(y+2)2.25+1.254(y+2)1.25+C
هل تريد تفاصيل إضافية أو توضيحات أخرى؟
أسئلة مقترحة:
- كيف يمكنني استخدام تغيير المتغيرات في التكاملات؟
- كيف يمكنني تبسيط التكاملات المعقدة؟
- ما هي القاعدة العامة للتكاملات غير المحددة؟
- كيف يمكنني التحقق من حلي للتكامل؟
- ما هي الخطوات الأساسية في إيجاد الحلول التكاملية؟
نصيحة:
عند التعامل مع التكاملات التي تحتوي على تعبيرات متعددة الحدود، حاول استخدام تغيير المتغيرات لتبسيط التعبير الأصلي وجعل عملية التكامل أكثر سهولة.