Math Problem Statement

حل المسألة باللغة العربية

Solution

لحل التكامل المعطى: y2(y+2)14dy\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy

نستخدم طريقة تغيير المتغيرات لجعل التكامل أسهل. لنقم بتعيين: u=y+2u = y + 2 إذن: du=dydu = dy و: y=u2y = u - 2

نعوض في التكامل الأصلي: (u2)2u14du\int (u - 2)^2 u^{\frac{1}{4}} \, du

نوسع القوس: (u24u+4)u14du\int (u^2 - 4u + 4) u^{\frac{1}{4}} \, du

نوزع u14u^{\frac{1}{4}}: (u2u144uu14+4u14)du\int (u^2 u^{\frac{1}{4}} - 4u u^{\frac{1}{4}} + 4 u^{\frac{1}{4}}) \, du (u2.254u1.25+4u0.25)du\int (u^{2.25} - 4u^{1.25} + 4u^{0.25}) \, du

نحسب التكامل لكل حد: u2.25du4u1.25du+4u0.25du\int u^{2.25} \, du - 4 \int u^{1.25} \, du + 4 \int u^{0.25} \, du

نستخدم قاعدة التكامل: undu=un+1n+1+C\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C

لذا: u2.25du=u3.253.25\int u^{2.25} \, du = \frac{u^{3.25}}{3.25} u1.25du=u2.252.25\int u^{1.25} \, du = \frac{u^{2.25}}{2.25} u0.25du=u1.251.25\int u^{0.25} \, du = \frac{u^{1.25}}{1.25}

نستبدل الحدود: u3.253.254u2.252.25+4u1.251.25\frac{u^{3.25}}{3.25} - 4 \cdot \frac{u^{2.25}}{2.25} + 4 \cdot \frac{u^{1.25}}{1.25}

نعيد u=y+2u = y + 2 إلى التعبير: (y+2)3.253.254(y+2)2.252.25+4(y+2)1.251.25+C\frac{(y + 2)^{3.25}}{3.25} - 4 \cdot \frac{(y + 2)^{2.25}}{2.25} + 4 \cdot \frac{(y + 2)^{1.25}}{1.25} + C

وبالتالي يكون الحل النهائي هو: (y+2)3.253.254(y+2)2.252.25+4(y+2)1.251.25+C\frac{(y + 2)^{3.25}}{3.25} - \frac{4(y + 2)^{2.25}}{2.25} + \frac{4(y + 2)^{1.25}}{1.25} + C

هل تريد تفاصيل إضافية أو توضيحات أخرى؟

أسئلة مقترحة:

  1. كيف يمكنني استخدام تغيير المتغيرات في التكاملات؟
  2. كيف يمكنني تبسيط التكاملات المعقدة؟
  3. ما هي القاعدة العامة للتكاملات غير المحددة؟
  4. كيف يمكنني التحقق من حلي للتكامل؟
  5. ما هي الخطوات الأساسية في إيجاد الحلول التكاملية؟

نصيحة:

عند التعامل مع التكاملات التي تحتوي على تعبيرات متعددة الحدود، حاول استخدام تغيير المتغيرات لتبسيط التعبير الأصلي وجعل عملية التكامل أكثر سهولة.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Integration
Variable substitution

Formulas

Integration by substitution formula

Theorems

-

Suitable Grade Level

Advanced High School / Undergraduate