Mari kita selesaikan masalah ini secara sistematis.

Diberikan:

• Suku banyak $t(x)$ ketika dibagi oleh $x^2 - 2x$ memiliki sisa $4x - 2$.
• Suku banyak $t(x)$ ketika dibagi oleh $x^2 + 2x$ memiliki sisa $3x + 4$.

Kita diminta mencari sisa ketika $t(x)$ dibagi oleh $x^2 + x - 2$.

Langkah 1: Menyatakan Persamaan Sisa

Dari informasi yang diberikan, kita dapat menuliskan:

1. $t(x) = (x^2 - 2x) \cdot q_1(x) + 4x - 2$
2. $t(x) = (x^2 + 2x) \cdot q_2(x) + 3x + 4$

Misalkan sisa yang dicari ketika $t(x)$ dibagi oleh $x^2 + x - 2$ adalah $ax + b$. Maka kita tuliskan:

$t(x) = (x^2 + x - 2) \cdot q_3(x) + ax + b$

Langkah 2: Mencari Akar-akar dari Pembagi

Kita cari akar-akar dari pembagi:

1. $x^2 - 2x = x(x - 2) = 0$ → $x = 0$ dan $x = 2$.
2. $x^2 + 2x = x(x + 2) = 0$ → $x = 0$ dan $x = -2$.
3. $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) = 0$ → $x = 1$ dan $x = -2$.

Langkah 3: Substitusi Nilai Akar

Sekarang kita substitusi nilai akar-akar ke persamaan $t(x)$.

1. Substitusi $x = 1$:

   Karena $x = 1$ adalah akar dari $x^2 + x - 2$, maka:

   $t(1) = a(1) + b = a + b$

2. Substitusi $x = -2$:

   Karena $x = -2$ adalah akar dari $x^2 + x - 2$, maka:

   $t(-2) = -2a + b$

Langkah 4: Menggunakan Informasi Sisa

Dari persamaan awal, kita bisa cari nilai $t(x)$ di $x = 1$ dan $x = -2$.

1. Dari pembagian oleh $x^2 - 2x$:

   • $t(1)$ dengan $x = 1$:

     $t(1) = 4(1) - 2 = 2$

   • $t(-2)$ dengan $x = -2$:

     $t(-2) = 4(-2) - 2 = -10$

2. Dari pembagian oleh $x^2 + 2x$:

   • $t(1)$ dengan $x = 1$:

     $t(1) = 3(1) + 4 = 7$

   • $t(-2)$ dengan $x = -2$:

     $t(-2) = 3(-2) + 4 = -2$

Langkah 5: Mencari Koefisien $a$ dan $b$

Kita memiliki dua persamaan simultan:

$a + b = 2 \quad \text{(dari } t(1))$ $-2a + b = -10 \quad \text{(dari } t(-2))$

Mari kita selesaikan sistem persamaan ini:

1. Dari $a + b = 2$, kita dapatkan $b = 2 - a$.

2. Substitusi ke persamaan kedua:

   $-2a + (2 - a) = -10$ $-3a + 2 = -10 \quad \Rightarrow \quad -3a = -12 \quad \Rightarrow \quad a = 4$ $b = 2 - 4 = -2$

Jadi, sisa yang diperoleh adalah:

$\text{Sisa} = 4x - 2$

Kesimpulan

Sisa ketika $t(x)$ dibagi dengan $x^2 + x - 2$ adalah $4x - 2$.

Apakah ada yang perlu dijelaskan lebih lanjut atau pertanyaan lainnya? Berikut beberapa pertanyaan yang mungkin menarik untuk dijawab:

1. Bagaimana cara sistematis untuk menyelesaikan sistem persamaan linear seperti ini?
2. Mengapa metode substitusi ini efektif dalam menyelesaikan masalah pembagian polinomial?
3. Bagaimana jika kita diminta mencari sisa untuk pembagi yang berbeda?
4. Apa yang terjadi jika derajat sisa lebih besar dari yang kita perkirakan?
5. Bagaimana cara memverifikasi hasil perhitungan ini?

Tip: Pastikan selalu mencatat langkah-langkah Anda dengan jelas, terutama saat bekerja dengan persamaan simultan, untuk meminimalkan kesalahan perhitungan.