Diberikan bahwa $p(x)$ adalah suku banyak berderajat 3. Ketika $p(x)$ dibagi oleh $x^2 + 3x + 5$, sisanya adalah $7x + 9$. Ketika $p(x)$ dibagi oleh $x^2 - 1$, sisanya adalah $-8x - 3$.

Kita dapat mengekspresikan $p(x)$ dalam dua bentuk berbeda sesuai dengan informasi yang diberikan:

1. $p(x) = (x^2 + 3x + 5)q(x) + (7x + 9)$
2. $p(x) = (x^2 - 1)r(x) + (-8x - 3)$

Karena $p(x)$ adalah suku banyak berderajat 3, maka $q(x)$ dan $r(x)$ haruslah suku banyak berderajat 1. Kita akan mencari $p(-2)$ dengan memanfaatkan kedua bentuk ini.

Langkah 1: Substitusi $x = -2$ pada ekspresi pertama

$p(-2) = (-2^2 + 3(-2) + 5)q(-2) + (7(-2) + 9)$ $p(-2) = (4 - 6 + 5)q(-2) + (-14 + 9)$ $p(-2) = 3q(-2) - 5$

Langkah 2: Substitusi $x = -2$ pada ekspresi kedua

$p(-2) = ((-2)^2 - 1)r(-2) + (-8(-2) - 3)$ $p(-2) = (4 - 1)r(-2) + (16 - 3)$ $p(-2) = 3r(-2) + 13$

Langkah 3: Menyamakan hasil dari kedua bentuk tersebut

Dari kedua persamaan untuk $p(-2)$: $3q(-2) - 5 = 3r(-2) + 13$

Langkah 4: Selesaikan untuk $q(-2)$ dan $r(-2)$

$3q(-2) - 3r(-2) = 18$ $3(q(-2) - r(-2)) = 18$ $q(-2) - r(-2) = 6$

Sekarang kita substitusi salah satu dari persamaan $p(-2)$ dengan asumsi $q(-2) = r(-2) + 6$ ke salah satu bentuk $p(-2)$. Misalnya, gunakan bentuk pertama: $p(-2) = 3(q(-2)) - 5$ $p(-2) = 3(r(-2) + 6) - 5$ $p(-2) = 3r(-2) + 18 - 5$ $p(-2) = 3r(-2) + 13$

Namun, kita sudah tahu bahwa $p(-2) = 3r(-2) + 13$. Jadi, ini mengonfirmasi bahwa solusi yang kita temukan konsisten.

Kesimpulannya, nilai $p(-2)$ adalah:

$\boxed{13}$

Ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut lima pertanyaan terkait yang bisa Anda coba:

1. Bagaimana menentukan bentuk umum dari $p(x)$ jika $q(x)$ dan $r(x)$ diketahui?
2. Bagaimana cara menentukan $p(x)$ secara eksplisit menggunakan informasi ini?
3. Bagaimana jika $p(x)$ dibagi oleh $x - 2$?
4. Apakah sisa pembagian $p(x)$ selalu berupa polinomial?
5. Bagaimana jika derajat suku banyak $p(x)$ lebih tinggi, misalnya derajat 4?

Tip: Ketika dua ekspresi polinomial yang berbeda memberikan hasil yang sama untuk suatu nilai $x$, kita dapat menyamakan kedua ekspresi tersebut untuk menemukan hubungan antar-koefisien atau nilai suku banyak tertentu.