Diketahui p(x) adalah suku banyak berderajat 3. Jika p(x) dibagi (x²+3x+5), sisanya 7x+9. Jika p(x) dibagi x²-1, sisanya -8x-3. Tentukan nilai p(-2)

Diberikan bahwa \( p(x) \) adalah suku banyak berderajat 3. Ketika \( p(x) \) dibagi oleh \( x^2 + 3x + 5 \), sisanya adalah \( 7x + 9 \). Ketika \( p(x) \) dibagi oleh \( x^2 - 1 \), sisanya adalah \( -8x - 3 \).

Kita dapat mengekspresikan \( p(x) \) dalam dua bentuk berbeda sesuai dengan informasi yang diberikan:

1. \( p(x) = (x^2 + 3x + 5)q(x) + (7x + 9) \)
2. \( p(x) = (x^2 - 1)r(x) + (-8x - 3) \)

Karena \( p(x) \) adalah suku banyak berderajat 3, maka \( q(x) \) dan \( r(x) \) haruslah suku banyak berderajat 1. Kita akan mencari \( p(-2) \) dengan memanfaatkan kedua bentuk ini.

### Langkah 1: Substitusi \( x = -2 \) pada ekspresi pertama
\[
p(-2) = (-2^2 + 3(-2) + 5)q(-2) + (7(-2) + 9)
\]
\[
p(-2) = (4 - 6 + 5)q(-2) + (-14 + 9)
\]
\[
p(-2) = 3q(-2) - 5
\]

### Langkah 2: Substitusi \( x = -2 \) pada ekspresi kedua
\[
p(-2) = ((-2)^2 - 1)r(-2) + (-8(-2) - 3)
\]
\[
p(-2) = (4 - 1)r(-2) + (16 - 3)
\]
\[
p(-2) = 3r(-2) + 13
\]

### Langkah 3: Menyamakan hasil dari kedua bentuk tersebut
Dari kedua persamaan untuk \( p(-2) \):
\[
3q(-2) - 5 = 3r(-2) + 13
\]

### Langkah 4: Selesaikan untuk \( q(-2) \) dan \( r(-2) \)
\[
3q(-2) - 3r(-2) = 18
\]
\[
3(q(-2) - r(-2)) = 18
\]
\[
q(-2) - r(-2) = 6
\]

Sekarang kita substitusi salah satu dari persamaan \( p(-2) \) dengan asumsi \( q(-2) = r(-2) + 6 \) ke salah satu bentuk \( p(-2) \). Misalnya, gunakan bentuk pertama:
\[
p(-2) = 3(q(-2)) - 5
\]
\[
p(-2) = 3(r(-2) + 6) - 5
\]
\[
p(-2) = 3r(-2) + 18 - 5
\]
\[
p(-2) = 3r(-2) + 13
\]

Namun, kita sudah tahu bahwa \( p(-2) = 3r(-2) + 13 \). Jadi, ini mengonfirmasi bahwa solusi yang kita temukan konsisten.

Kesimpulannya, nilai \( p(-2) \) adalah:

\[
\boxed{13}
\]

Ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut lima pertanyaan terkait yang bisa Anda coba:

1. Bagaimana menentukan bentuk umum dari \( p(x) \) jika \( q(x) \) dan \( r(x) \) diketahui?
2. Bagaimana cara menentukan \( p(x) \) secara eksplisit menggunakan informasi ini?
3. Bagaimana jika \( p(x) \) dibagi oleh \( x - 2 \)?
4. Apakah sisa pembagian \( p(x) \) selalu berupa polinomial?
5. Bagaimana jika derajat suku banyak \( p(x) \) lebih tinggi, misalnya derajat 4?

**Tip:** Ketika dua ekspresi polinomial yang berbeda memberikan hasil yang sama untuk suatu nilai \( x \), kita dapat menyamakan kedua ekspresi tersebut untuk menemukan hubungan antar-koefisien atau nilai suku banyak tertentu.

Explore the solution to a polynomial division problem involving remainders and coefficients. Learn how to solve equations involving polynomial division and find specific values using algebraic methods. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation