برای حل انتگرال داده شده با ساده‌ترین روش، به کمک فرمول زیر که در کتاب "مدرنی آنالیز ریاضی" اروین کریزینگ آورده شده است، استفاده می‌کنیم:

$F(x) = \int_{0}^{\infty} \left[ A(w) \cos(wx) + B(w) \sin(wx) \right] dw$

فرم کلی راه حل:

1. مقایسه تابع زیر با فرمول داده شده: $\frac{\cos(wx) + w \sin(wx)}{1 + w^2}$ در اینجا: $A(w) = \frac{1}{1+w^2}, \quad B(w) = \frac{w}{1+w^2}.$

2. استفاده از فرمول‌های تبدیل فوریه، که نتایج انتگرال‌ها به صورت جدول یا فرمول‌های از پیش محاسبه‌شده در کتاب اروین کریزینگ آورده شده است.

حل انتگرال با جزئیات:

ابتدا دو بخش $\cos(wx)$ و $\sin(wx)$ را جدا می‌کنیم: $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(wx)}{1+w^2} dw \quad \text{و} \quad \int_{0}^{\infty} \frac{w \sin(wx)}{1+w^2} dw.$

بخش اول:

از فرمول جدول اروین کریزینگ برای $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos(wx)}{1+w^2} dw$ استفاده می‌کنیم: