برای محاسبه انتگرال زیر:

$\frac{2}{\pi} \int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx$

بیایید مرحله‌به‌مرحله این را حل کنیم.

---

۱. فرم انتگرال

انتگرال داده شده به صورت زیر است:

$\frac{2}{\pi} \int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx$

---

۲. محاسبه انتگرال

انتگرال $\cos(wx)$ به صورت زیر حل می‌شود:

$\int \cos(wx) \, dx = \frac{\sin(wx)}{w}$

بنابراین، با اعمال کران‌های $0$ و $a$، خواهیم داشت:

$\int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx = \left[ \frac{\sin(wx)}{w} \right]_{0}^{a}$

حال، مقادیر را در بازه‌ها جایگذاری می‌کنیم:

$\int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx = \frac{\sin(wa)}{w} - \frac{\sin(0)}{w}$

چون $\sin(0) = 0$، این نتیجه ساده‌تر می‌شود:

$\int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx = \frac{\sin(wa)}{w}$

---

۳. ضرب در $\frac{2}{\pi}$

اکنون مقدار بالا را در $\frac{2}{\pi}$ ضرب می‌کنیم:

$\frac{2}{\pi} \int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\sin(wa)}{w}$

---

۴. نتیجه نهایی

نتیجه نهایی این انتگرال به صورت زیر است:

$\frac{2}{\pi} \int_{0}^{a} \cos(wx) \, dx = \frac{2 \sin(wa)}{\pi w}$

---

توضیحات ساده برای مبتدیان

1. تابع $\cos(wx)$ یک موج سینوسی است که با فرکانس $w$ نوسان می‌کند.
2. انتگرال $\cos(wx)$ برابر با $\frac{\sin(wx)}{w}$ است، که ناشی از رابطه بین سینوس و کسینوس است.
3. در بازه $[0, a]$، $\sin(0) = 0$ محاسبه را ساده می‌کند.
4. در انتها فقط کافی است مقدار انتگرال را در ضریب $\frac{2}{\pi}$ ضرب کنید.

---

سوالات مرتبط

1. اگر به جای $\cos(wx)$، انتگرال $\sin(wx)$ را بخواهیم، چطور محاسبه می‌شود؟
2. آیا این انتگرال در $a \to \infty$ همگرا خواهد بود؟
3. چگونه این انتگرال را می‌توان برای مقادیر خاص $w$ و $a$ محاسبه کرد؟
4. آیا می‌توان از روش سری فوریه برای تقریب این انتگرال استفاده کرد؟
5. اگر ضریب $\frac{2}{\pi}$ تغییر کند، چگونه جواب تحت تأثیر قرار می‌گیرد؟

نکته: همیشه هنگام محاسبه انتگرال‌های مثلثاتی به خواص تابع (مثل تناوب یا مقدار تابع در مرزها) توجه کنید.