به منظور حل این انتگرال به روش اروین کریزینگ و با ساده‌ترین روش ممکن، ابتدا باید ساختار انتگرال را بررسی کرده و سپس به کمک تعاریف ساده و اصول ابتدایی تحلیل فوریه، نتیجه را محاسبه کنیم.

انتگرال داده‌شده:

$I(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xw) + w\sin(xw)}{1 + w^2} \, dw$

و خروجی بسته به مقدار $x$ به‌صورت زیر تعریف شده است:

• $I(x) = 0 \quad \text{اگر } x < 0$
• $I(x) = \frac{\pi}{2} \quad \text{اگر } x = 0$
• $I(x) = \pi e^{-x} \quad \text{اگر } x > 0$

قدم ۱: بازنویسی انتگرال

برای ساده‌تر کردن محاسبات، ابتدا صورت انتگرال را تجزیه می‌کنیم: $I(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1+w^2} \, dw + \int_0^\infty \frac{w\sin(xw)}{1+w^2} \, dw$

بنابراین، انتگرال به دو قسمت تقسیم می‌شود: $I_1(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1+w^2} \, dw, \quad I_2(x) = \int_0^\infty \frac{w\sin(xw)}{1+w^2} \, dw$

قدم ۲: حل قسمت اول $I_1(x)$

به کمک یک تغییر متغیر ساده: $u = w, \quad du = dw$

انتگرال $I_1(x)$ تبدیل می‌شود به: $I_1(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xu)}{1+u^2} \, du$

این انتگرال یک انتگرال شناخته‌شده است و جواب آن به‌صورت زیر است (مراجعه به جداول انتگرال یا حل استاندارد): $I_1(x) = \frac{\pi}{2} e^{-|x|}$

قدم ۳: حل قسمت دوم $I_2(x)$

برای حل $I_2(x)$، مجدداً از تغییر متغیر مشابه استفاده می‌کنیم: $u = w, \quad du = dw$

انتگرال $I_2(x)$ به‌صورت زیر درمی‌آید: $I_2(x) = \int_0^\infty \frac{u\sin(xu)}{1+u^2} \, du$

این انتگرال نیز یک انتگرال شناخته‌شده است و با روش‌های استاندارد حل می‌شود: $I_2(x) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \int_0^\infty \frac{\cos(xu)}{1+u^2} \, du \right)$

با توجه به اینکه: $\int_0^\infty \frac{\cos(xu)}{1+u^2} \, du = \frac{\pi}{2} e^{-|x|}$

مشتق‌گیری نسبت به $x$ نتیجه می‌دهد: $I_2(x) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\pi}{2} e^{-|x|} \right)$

برای $x > 0$، داریم: $I_2(x) = -\frac{\pi}{2} (-e^{-x}) = \frac{\pi}{2} e^{-x}$

قدم ۴: ترکیب نتایج

اکنون هر دو قسمت را ترکیب می‌کنیم: $I(x) = I_1(x) + I_2(x) = \frac{\pi}{2} e^{-|x|} + \frac{\pi}{2} e^{-x}$

برای $x > 0$، داریم: $I(x) = \pi e^{-x}$

برای $x = 0$، داریم: $I(x) = \frac{\pi}{2}$

و برای $x < 0$، با توجه به تقارن و صفر بودن قسمت دوم، نتیجه $I(x) = 0$ خواهد بود.

نتیجه نهایی: