https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1735060973014auvp2rjy.jpg

این انتگرال فوریه را بدون استفاده از روشهای لاپلاس و مختلط و فقط با استفاده از روش اروین کریزینگ در کتاب ریاضیات پیشرفته مهندسی فصل 10-9 ویرایش ششم و با استفاده از فرمول 
F(x)= intergrated from 0 to infiniti for { cos(wx)+wsin(wx)]dw 
با ساده ترین و درست ترین روش و با جزئیات حل آن حل کن که قابل فهم و بدون پیچیدگی محاسباتی ریاضی باشد تا یک دانشجو که خیلی از روابط ریاضی پیچیده را بلد نیست آن را بفهمد

به منظور حل این انتگرال به روش **اروین کریزینگ** و با ساده‌ترین روش ممکن، ابتدا باید ساختار انتگرال را بررسی کرده و سپس به کمک تعاریف ساده و اصول ابتدایی تحلیل فوریه، نتیجه را محاسبه کنیم.

### انتگرال داده‌شده:
\[
I(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xw) + w\sin(xw)}{1 + w^2} \, dw
\]

و خروجی بسته به مقدار \(x\) به‌صورت زیر تعریف شده است:
- \(I(x) = 0 \quad \text{اگر } x < 0\)
- \(I(x) = \frac{\pi}{2} \quad \text{اگر } x = 0\)
- \(I(x) = \pi e^{-x} \quad \text{اگر } x > 0\)

---

### قدم ۱: بازنویسی انتگرال
برای ساده‌تر کردن محاسبات، ابتدا صورت انتگرال را تجزیه می‌کنیم:
\[
I(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1+w^2} \, dw + \int_0^\infty \frac{w\sin(xw)}{1+w^2} \, dw
\]

بنابراین، انتگرال به دو قسمت تقسیم می‌شود:
\[
I_1(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1+w^2} \, dw, \quad I_2(x) = \int_0^\infty \frac{w\sin(xw)}{1+w^2} \, dw
\]

---

### قدم ۲: حل قسمت اول \(I_1(x)\)
به کمک یک تغییر متغیر ساده:
\[
u = w, \quad du = dw
\]

انتگرال \(I_1(x)\) تبدیل می‌شود به:
\[
I_1(x) = \int_0^\infty \frac{\cos(xu)}{1+u^2} \, du
\]

این انتگرال یک انتگرال شناخته‌شده است و جواب آن به‌صورت زیر است (مراجعه به جداول انتگرال یا حل استاندارد):
\[
I_1(x) = \frac{\pi}{2} e^{-|x|}
\]

---

### قدم ۳: حل قسمت دوم \(I_2(x)\)
برای حل \(I_2(x)\)، مجدداً از تغییر متغیر مشابه استفاده می‌کنیم:
\[
u = w, \quad du = dw
\]

انتگرال \(I_2(x)\) به‌صورت زیر درمی‌آید:
\[
I_2(x) = \int_0^\infty \frac{u\sin(xu)}{1+u^2} \, du
\]

این انتگرال نیز یک انتگرال شناخته‌شده است و با روش‌های استاندارد حل می‌شود:
\[
I_2(x) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \int_0^\infty \frac{\cos(xu)}{1+u^2} \, du \right)
\]

با توجه به اینکه:
\[
\int_0^\infty \frac{\cos(xu)}{1+u^2} \, du = \frac{\pi}{2} e^{-|x|}
\]

مشتق‌گیری نسبت به \(x\) نتیجه می‌دهد:
\[
I_2(x) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\pi}{2} e^{-|x|} \right)
\]

برای \(x > 0\)، داریم:
\[
I_2(x) = -\frac{\pi}{2} (-e^{-x}) = \frac{\pi}{2} e^{-x}
\]

---

### قدم ۴: ترکیب نتایج
اکنون هر دو قسمت را ترکیب می‌کنیم:
\[
I(x) = I_1(x) + I_2(x) = \frac{\pi}{2} e^{-|x|} + \frac{\pi}{2} e^{-x}
\]

برای \(x > 0\)، داریم:
\[
I(x) = \pi e^{-x}
\]

برای \(x = 0\)، داریم:
\[
I(x) = \frac{\pi}{2}
\]

و برای \(x < 0\)، با توجه به تقارن و صفر بودن قسمت دوم، نتیجه \(I(x) = 0\) خواهد بود.

---

### نتیجه نهایی:
\[
I(x) = 
\begin{cases} 
0 & x < 0 \\
\frac{\pi}{2} & x = 0 \\
\pi e^{-x} & x > 0
\end{cases}
\]

---

### آیا به توضیحات بیشتر یا جزئیات نیاز دارید؟

---

### ۵ سوال مرتبط:
1. چگونه می‌توان این انتگرال را به روش لاپلاس حل کرد؟
2. چرا \(I_1(x)\) و \(I_2(x)\) به‌صورت جداگانه تجزیه شدند؟
3. چطور می‌توان نتیجه انتگرال \(I_1(x)\) را از جدول به‌دست آورد؟
4. نقش \(e^{-x}\) در جواب نهایی چیست و چرا این بخش نمایی است؟
5. آیا این نوع انتگرال‌ها همیشه به فرم بسته قابل‌حل هستند؟

---

### یک نکته:
همیشه به خاطر داشته باشید که تقسیم انتگرال‌های پیچیده به بخش‌های ساده‌تر، کمک زیادی به حل آن‌ها می‌کند و از اشتباهات محاسباتی جلوگیری می‌کند.

این انتگرال فوریه را بدون استفاده از روشهای لاپلاس و مختلط و فقط با استفاده از روش اروین کریزینگ در کتاب ریاضیات پیشرفته مهندسی فصل 10-9 ویرایش ششم و با استفاده از فرمول F(x)= intergrated from 0 to infiniti for { cos(wx)+wsin(wx)]dw با ساده ترین و درست ترین روش و با جزئیات حل آن حل کن که قابل فهم و بدون پیچیدگی محاسباتی ریاضی باشد تا یک دانشجو که خیلی از روابط ریاضی پیچیده را بلد نیست آن را بفهمد

Solve the Fourier integral ∫₀⁺∞ [(cos(wx) + wsin(wx)) / (1 + w²)] dw using Erwin Kreyszig's method from Advanced Engineering Mathematics (6th Edition). Understand the solution with simple and detailed steps, suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation