برای حل این انتگرال به صورت ساده و بدون استفاده از فرمول‌های پیچیده یا اعداد مختلط، از تعریف اصلی انتگرال استفاده می‌کنیم. در اینجا، انتگرال داده شده است:

$\int_0^\infty \frac{\cos(xw) + w \sin(xw)}{1 + w^2} \, dw$

برای بررسی آن، از تکنیک‌های اصلی زیر استفاده می‌کنیم:

مرحله اول: تجزیه به دو انتگرال جداگانه

می‌توان صورت کسر را به دو بخش جداگانه تقسیم کرد: $\int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1 + w^2} \, dw + \int_0^\infty \frac{w \sin(xw)}{1 + w^2} \, dw$

حال هر بخش را جداگانه بررسی می‌کنیم.

مرحله دوم: بررسی انتگرال اول

انتگرال اول: $I_1 = \int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1 + w^2} \, dw$

این انتگرال برای مقادیر مختلف $x$ به صورت زیر حل می‌شود:

• اگر $x > 0$: از تغییر متغیر $u = w$ و سپس استفاده از خاصیت $\int_0^\infty \frac{\cos(xw)}{1 + w^2} dw = \frac{\pi e^{-|x|}}{2}$.
• اگر $x = 0$: به دلیل اینکه تابع کسری متقارن است، $I_1 = \pi/2$.

مرحله سوم: بررسی انتگرال دوم

انتگرال دوم: $I_2 = \int_0^\infty \frac{w \sin(xw)}{1 + w^2} \, dw$

برای این انتگرال نیز با روش مشابه یا استفاده از مشتقات جزئی و خواص تبدیل فوریه نتیجه $-\frac{\pi e^{-|x|} i}{2}$ به دست می‌آید، که در حالت $x=0$ صفر خواهد بود.

نتیجه نهایی

ترکیب دو بخش انتگرال و بررسی موارد مختلف $x$: