розвʼязати однорідне диференційне рівняння $$ \sqrt{1-x^2}\differentialD y-\text{ydx}=0 $$

Розглянемо диференціальне рівняння:

$$ \sqrt{1 - x^2} \, dy - y \, dx = 0. $$

Це рівняння можна записати у вигляді:

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{\sqrt{1 - x^2}}. $$

Тепер використаємо метод поділу змінних. Перепишемо рівняння так:

$$ \frac{dy}{y} = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}}. $$

Інтегруємо обидві сторони рівняння:

$$ \int \frac{1}{y} \, dy = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx. $$

Ліва частина інтегралу є:

$$ \int \frac{1}{y} \, dy = \ln |y|. $$

Права частина інтегралу відома як арксинус:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \arcsin x. $$

Тому після інтегрування маємо:

$$ \ln |y| = \arcsin x + C, $$

де $C$ — стала інтегрування.

Тепер можна експоненціювати обидві сторони рівняння:

$$ |y| = e^{\arcsin x + C} = e^C e^{\arcsin x}. $$

Оскільки $e^C$ — це просто нова стала, позначимо її як $C_1$:

$$ |y| = C_1 e^{\arcsin x}. $$

Можемо записати загальне рішення як:

$$ y = \pm C_1 e^{\arcsin x}. $$

Таким чином, загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння:

$$ y = C e^{\arcsin x}, $$

де $C = \pm C_1$ — нова довільна стала.

---

Якщо потрібні деталі або маєте питання, повідомте мене.

**5 додаткових питань:**

1. Як перевірити правильність розв'язку диференціального рівняння?
2. Що таке арксинус і які його властивості?
3. Які інші методи розв'язку можна використовувати для цього типу диференціальних рівнянь?
4. Як розв'язувати неоднорідні диференціальні рівняння?
5. Чи можна застосувати тригонометричну підстановку для спрощення подібних рівнянь?

**Порада:** Якщо рівняння має складну структуру, метод поділу змінних часто допомагає спростити задачу, розбиваючи її на окремі інтеграли.

розвʼязати однорідне диференційне рівняння $$ \sqrt{1-x^2}\,dy - \text{y}\,dx=0 $$

This guide explains how to solve the homogeneous differential equation $ \sqrt{1 - x^2}\, dy - y\, dx = 0 $ using the method of separation of variables and integrating with the arcsine function. Suitable for calculus students at the undergraduate level.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation