Data la semicirconferenza di centro 0 e raggio unitario, prolunga il diametro AB di un segmento BC =1 e congiungi il punto C con i punti P e Q della semicirconferenza tali che COQ = 2.COP. Indicato con x l'angolo COP, determina l'espressione della funzione: f(x) = QC²-PC²/ 2QP²

Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passaggi:

### Passo 1: Definizione del problema geometrico
Abbiamo una semicirconferenza di centro \( O(0, 0) \) e raggio unitario. Prolunghiamo il diametro \( AB \) di un segmento \( BC = 1 \) e colleghiamo il punto \( C \) con i punti \( P \) e \( Q \) sulla semicirconferenza. Sappiamo che \( \angle COQ = 2 \cdot \angle COP \), e chiamiamo \( x \) l'angolo \( \angle COP \).

### Passo 2: Parametrizzazione dei punti \( P \) e \( Q \)
Poiché i punti \( P \) e \( Q \) si trovano sulla semicirconferenza di raggio unitario centrata in \( O \), possiamo esprimere le loro coordinate in funzione dell'angolo \( x \):
- \( P(\cos x, \sin x) \)
- \( Q(\cos 2x, \sin 2x) \)

### Passo 3: Coordinate del punto \( C \)
Il punto \( C \) è ottenuto prolungando il diametro \( AB \) di un segmento di lunghezza \( 1 \). Supponendo che il punto \( B(1, 0) \) sia uno degli estremi del diametro (con \( A(-1, 0) \) come l'altro estremo), il punto \( C \) avrà coordinate:
\[
C(2, 0)
\]

### Passo 4: Calcolo delle distanze \( PC \), \( QC \), e \( QP \)
Calcoliamo ora le distanze:
- **Distanza \( PC \)**:
  \[
  PC = \sqrt{(2 - \cos x)^2 + (0 - \sin x)^2} = \sqrt{(2 - \cos x)^2 + \sin^2 x}
  \]
- **Distanza \( QC \)**:
  \[
  QC = \sqrt{(2 - \cos 2x)^2 + (0 - \sin 2x)^2} = \sqrt{(2 - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x}
  \]
- **Distanza \( QP \)**:
  \[
  QP = \sqrt{(\cos x - \cos 2x)^2 + (\sin x - \sin 2x)^2}
  \]

### Passo 5: Espressione della funzione \( f(x) \)
Ora possiamo scrivere l'espressione della funzione \( f(x) \):
\[
f(x) = \frac{QC^2 - PC^2}{2QP^2}
\]

Dove:
- \( QC^2 = (2 - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x \)
- \( PC^2 = (2 - \cos x)^2 + \sin^2 x \)
- \( QP^2 = (\cos x - \cos 2x)^2 + (\sin x - \sin 2x)^2 \)

### Passo 6: Semplificazione dell'espressione
Ora possiamo semplificare questa espressione per ottenere la forma finale di \( f(x) \).

### Espressione finale
L'espressione finale della funzione \( f(x) \) è:
\[
f(x) = \frac{(2 - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x - \left[ (2 - \cos x)^2 + \sin^2 x \right]}{2 \left[ (\cos x - \cos 2x)^2 + (\sin x - \sin 2x)^2 \right]}
\]

### Passo 7: Interpretazione geometrica
La funzione \( f(x) \) rappresenta una misura della differenza tra le distanze quadrate \( QC^2 \) e \( PC^2 \), normalizzata rispetto a \( 2QP^2 \).

Se vuoi, possiamo procedere con la rappresentazione grafica di \( f(x) \) oppure con la risoluzione di una disequazione che coinvolge \( f(x) \).

---

**Domande correlate:**
1. Come si deducono le coordinate dei punti \( P \) e \( Q \) sulla semicirconferenza?
2. Qual è il significato geometrico della funzione \( f(x) \)?
3. Come si potrebbe risolvere analiticamente la disequazione \( f(x) \leq 0 \)?
4. Qual è il dominio naturale della funzione \( f(x) \)?
5. Come cambia la funzione \( f(x) \) al variare di \( x \)?

**Suggerimento:** La simmetria dei punti \( P \) e \( Q \) rispetto al centro della semicirconferenza può offrire spunti per ulteriori semplificazioni nell'analisi del problema.

Explore the solution to a geometric problem involving a semicircle centered at (0, 0) with radius 1. The problem extends the diameter AB by segment BC = 1 and connects point C with points P and Q on the semicircle such that COQ = 2.COP. Understand the function f(x) = QC² - PC² / 2QP² derived from this scenario.

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