Data la semicirconferenza di centro 0 e raggio unitario, prolunga il diametro AB di un segmento BC =1 e congiungi il punto C con i punti P e Q della semicirconferenza tali che COQ = 2.COP. Indicato con x l'angolo COP, determina l'espressione della funzione: f(x) = QC²-PC²/ 2QP² .Rappresenta il grafico di f(x) ed evidenzia il tratto relativo al problema. Indipendentemente dal problema geometrico, risolvi la disequazione f(x)<=0

Il problema richiede di determinare l'espressione della funzione \( f(x) = \frac{QC^2 - PC^2}{2QP^2} \), e successivamente risolvere la disequazione \( f(x) \leq 0 \).

### Passo 1: Parametrizzazione della semicirconferenza
Consideriamo una semicirconferenza di centro \( O(0, 0) \) e raggio unitario. I punti \( P \) e \( Q \) sulla semicirconferenza possono essere parametrizzati come:
- \( P(\cos x, \sin x) \)
- \( Q(\cos 2x, \sin 2x) \)

Il punto \( C \), come indicato nel problema, è ottenuto prolungando il diametro \( AB \) di un segmento \( BC = 1 \). Supponendo che \( B(1, 0) \) sia uno dei punti estremi del diametro (dove \( A(-1,0) \) è l'altro), il punto \( C \) avrà coordinate \( C(2, 0) \).

### Passo 2: Calcolo delle distanze \( PC \), \( QC \), e \( QP \)
Le distanze possono essere calcolate come segue:
- \( PC = \sqrt{(2 - \cos x)^2 + (0 - \sin x)^2} = \sqrt{(2 - \cos x)^2 + \sin^2 x} \)
- \( QC = \sqrt{(2 - \cos 2x)^2 + (0 - \sin 2x)^2} = \sqrt{(2 - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x} \)
- \( QP = \sqrt{(\cos x - \cos 2x)^2 + (\sin x - \sin 2x)^2} \)

### Passo 3: Espressione della funzione \( f(x) \)
Ora possiamo scrivere l'espressione della funzione \( f(x) \):
\[
f(x) = \frac{QC^2 - PC^2}{2QP^2}
\]

Dove:
\[
QC^2 = (2 - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x
\]
\[
PC^2 = (2 - \cos x)^2 + \sin^2 x
\]
\[
QP^2 = (\cos x - \cos 2x)^2 + (\sin x - \sin 2x)^2
\]

### Passo 4: Risoluzione della disequazione \( f(x) \leq 0 \)
La disequazione \( f(x) \leq 0 \) richiede che:
\[
QC^2 \leq PC^2
\]

Questo porta alla condizione:
\[
(2 - \cos 2x)^2 + \sin^2 2x \leq (2 - \cos x)^2 + \sin^2 x
\]

Questa disequazione può essere risolta analiticamente o graficamente.

### Passo 5: Rappresentazione grafica di \( f(x) \)
La funzione può essere tracciata graficamente utilizzando strumenti matematici o software grafici. L'intervallo di interesse è \( x \in [0, \pi] \) poiché \( P \) e \( Q \) sono sulla semicirconferenza superiore.

### Grafico e interpretazione
Il grafico di \( f(x) \) mostra come varia la differenza tra le distanze \( QC^2 \) e \( PC^2 \) rispetto a \( QP^2 \). Il tratto di interesse è dove \( f(x) \leq 0 \).

### Conclusioni
Per determinare dove \( f(x) \leq 0 \), si deve analizzare il grafico o risolvere la disequazione algebrica.

Desideri una rappresentazione grafica di \( f(x) \) o ulteriori dettagli su come risolvere la disequazione?

---

**Domande correlate:**
1. Come si determina il centro della semicirconferenza?
2. Qual è l'espressione delle coordinate di un punto su una semicirconferenza?
3. Qual è il significato geometrico della funzione \( f(x) \)?
4. Come si potrebbe risolvere analiticamente la disequazione \( f(x) \leq 0 \)?
5. Qual è l'intervallo di valori di \( x \) per cui \( QC^2 = PC^2 \)?

**Suggerimento:** Quando si risolvono disequazioni trigonometriche, è utile ricordare le identità trigonometriche e considerare le simmetrie della funzione.

Explore the solution to a geometric problem involving a semicircle with center at (0, 0) and radius 1. This problem involves extending diameter AB by segment BC = 1 and connecting point C with points P and Q on the semicircle such that COQ = 2.COP. Learn to derive and graph the function f(x) = (QC² - PC²) / 2QP² and solve the inequality f(x) <= 0. Suitable for advanced high school students.

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