La ecuación que se nos plantea es:

$3 \binom{x}{4} = 5 \binom{x-1}{5}$

Paso 1: Expandir los números combinatorios

Utilizamos la definición de coeficiente binomial, que para $\binom{n}{k}$ es:

$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}$

Ahora aplicamos esta fórmula a ambos lados de la ecuación.

Lado izquierdo: $3 \binom{x}{4}$

$\binom{x}{4} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{4!} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24}$ Entonces, el lado izquierdo se convierte en:

$3 \binom{x}{4} = 3 \times \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{24} = \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{8}$

Lado derecho: $5 \binom{x-1}{5}$

$\binom{x-1}{5} = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{5!} = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{120}$ Entonces, el lado derecho se convierte en:

$5 \binom{x-1}{5} = 5 \times \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{120} = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{24}$

Paso 2: Igualar ambos lados

Ahora tenemos la ecuación:

$\frac{x(x-1)(x-2)(x-3)}{8} = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)}{24}$

Multiplicamos ambos lados por 24 para eliminar los denominadores:

$3x(x-1)(x-2)(x-3) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$

Paso 3: Simplificar

Observamos que ambos lados de la ecuación tienen el factor $(x-1)(x-2)(x-3)$, que podemos cancelar (siempre que $x \neq 1, 2, 3$):

$3x = (x-4)(x-5)$

Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática

Expandimos el lado derecho:

$3x = x^2 - 9x + 20$

Reorganizamos la ecuación:

$0 = x^2 - 12x + 20$

Resolviendo esta ecuación cuadrática con la fórmula general:

$x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(1)(20)}}{2(1)}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2}$

$x = \frac{12 \pm 8}{2}$

Por lo tanto, las soluciones son:

$x_1 = \frac{12 + 8}{2} = 10, \quad x_2 = \frac{12 - 8}{2} = 2$

Paso 5: Verificar las soluciones

Las soluciones obtenidas son $x = 10$ y $x = 2$. Ahora verificamos si satisfacen la ecuación original.

1. Para $x = 10$:

Lado izquierdo:

$3 \binom{10}{4} = 3 \times \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{24} = 3 \times 210 / 24 = 26.25$

Lado derecho:

$5 \binom{9}{5} = 5 \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5}{120} = 5 \times 15120 / 120 = 26.25$

Para $x = 10$, ambos lados son iguales.

2. Para $x = 2$:

Lado izquierdo:

$3 \binom{2}{4} = 3 \times 0 = 0$

Lado derecho:

$5 \binom{1}{5} = 5 \times 0 = 0$

Para $x = 2$, ambos lados también son iguales.

Respuesta final

Los valores de $x \in \mathbb{N}_0$ que satisfacen la ecuación son:

$x = 2 \quad \text{y} \quad x = 10$

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso en particular? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué otras propiedades de los números combinatorios podrían usarse en problemas similares?
2. ¿Cómo afecta el valor de $x$ en los coeficientes binomiales cuando aumenta?
3. ¿Qué otros tipos de problemas pueden resolverse usando números combinatorios?
4. ¿Cuándo es útil cancelar factores en ecuaciones como esta?
5. ¿Cómo se aplica la fórmula cuadrática en otros tipos de ecuaciones?

Tip: Cuando canceles factores comunes en ecuaciones, asegúrate de verificar que no se están eliminando soluciones válidas al hacerlo.