Mari kita bahas kedua soal satu per satu:

Soal 1: Kombinasi Huruf

Diketahui kata "PRODUKSI" dan tambahan huruf "I", sehingga jumlah total huruf adalah:

• P, R, O, D, U, K, S, I, I
• Terdapat 9 huruf, tetapi huruf I muncul dua kali.

Kita ingin memilih 3 huruf, tanpa memperhatikan urutan. Kita mempertimbangkan kasus berikut:

1. Semua huruf berbeda:

   • Pilih 3 dari 8 huruf unik (P, R, O, D, U, K, S, I)
   • Banyak cara: $\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

2. Satu huruf diulang (hanya I yang bisa diulang):

   • Pilih dua huruf "I" dan satu huruf dari 7 huruf lainnya (P, R, O, D, U, K, S).
   • Banyak cara: $\binom{7}{1} = 7$.

Total cara memilih ketiga huruf adalah:
$56 + 7 = 63$

---

Soal 2: Kombinasi dan Persamaan

Diketahui:
$C(4^n, 4) = n^2 - 2n$ Dengan rumus kombinasi:
$C(a, b) = \frac{a!}{b!(a-b)!}$ Untuk $C(4^n, 4)$:
$C(4^n, 4) = \frac{4^n!}{4!(4^n-4)!}$ Untuk menyelesaikan $C(4^n, 4) = n^2 - 2n$, kita perlu nilai spesifik $n$ yang memenuhi persamaan. Karena faktor perhitungan besar, lebih efektif menyelesaikannya dengan mencoba nilai $n$ kecil.

Mari kita coba $n = 2$:

• $C(4^2, 4) = C(16, 4) = \frac{16!}{4!(12!)} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820$
• $n^2 - 2n = 2^2 - 2(2) = 4 - 4 = 0$ → Tidak cocok

Coba $n = 3$:

• $C(4^3, 4) = C(64, 4) = \frac{64!}{4!(60!)} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 635,376$
• $3^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$ → Tidak cocok

Kita perlu pendekatan lebih lanjut untuk menemukan $n$ yang sesuai.

---

Kesimpulan:

1. Banyak cara memilih 3 huruf dari kata PRODUKSI dan I adalah 63 cara.
2. Mencari nilai $n$ untuk memenuhi persamaan kombinasi memerlukan uji lebih lanjut. Apakah Anda ingin mencoba pendekatan lain atau solusi numerik?

---

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menghitung kombinasi jika ada lebih dari satu huruf yang berulang?
2. Bagaimana membuktikan bahwa kombinasi $C(n, r)$ selalu lebih kecil dari $n^r$?
3. Bagaimana mencari pola dalam perhitungan kombinasi untuk $C(a, b) = f(n)$?
4. Bagaimana menerapkan kombinasi dalam peluang kejadian dalam kehidupan nyata?
5. Apakah ada cara alternatif untuk menyelesaikan persamaan kombinasi di soal kedua?

🔢 Tip: Dalam kombinasi dengan elemen berulang, selalu pisahkan kasus berdasarkan jumlah pengulangan huruf!