Pour simplifier le produit

$\prod_{n=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right)$

où $T_n$ est une suite arithmétique donnée par $T_n = 30 + 36n$, on peut utiliser la forme complexe du sinus et explorer les propriétés des séries de Fourier. Je vais décomposer cette simplification en plusieurs étapes.

1. Forme complexe du sinus

Utilisons la forme complexe du sinus : $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

Cela nous donne pour chaque terme : $\sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right) = \frac{e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}}{2i}$

Le produit devient donc : $\prod_{n=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right) = \prod_{n=0}^{n-1} \frac{e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}}{2i}$ ce qui se simplifie en : $\frac{1}{(2i)^n} \prod_{n=0}^{n-1} \left(e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}\right)$

2. Expression de $T_n$

Substituons $T_n = 30 + 36n$ dans l'expression ci-dessus : $\prod_{n=0}^{n-1} \left(e^{i \frac{2\pi t}{30 + 36n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{30 + 36n}}\right)$

3. Analyse et simplification du produit

Pour simplifier ce produit, notons que $T_n = 30 + 36n$ correspond à une suite arithmétique. On remarque que la différence entre chaque $T_n$ est constante : $T_{n+1} - T_n = 36$. Ce décalage régulier peut permettre d'identifier des motifs périodiques dans le produit des exponentielles.

4. Utilisation de la série de Fourier

Si $t$ est une variable correspondant à une fonction périodique, on peut représenter $\sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right)$ comme une série de Fourier. Cependant, l'utilisation directe de la série de Fourier pour ce produit est complexe car chaque terme du produit dépend de $n$ par $T_n$.

5. Simplification possible

Une simplification possible serait d'analyser le produit sous l'hypothèse que les fréquences $\frac{1}{T_n}$ sont suffisamment espacées pour éviter les interférences destructives dans le produit complexe. Dans ce cas, le produit pourrait être exprimé sous une forme résumée, comme un produit généralisé ou une somme logarithmique.

En absence d'une simplification triviale évidente, la forme développée est probablement la plus compacte : $\prod_{n=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi t}{30 + 36n}\right)$

Cependant, ce produit est complexe et pourrait être analysé numériquement ou pour des valeurs spécifiques de $n$ et $t$.

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Souhaitez-vous explorer davantage ce produit pour des cas spécifiques ou avez-vous besoin de plus de détails sur une méthode particulière ?

Questions relatives :

1. Comment la différence constante dans une suite arithmétique influence-t-elle la simplification d'un produit trigonométrique ?
2. Peut-on exploiter la symétrie dans les produits trigonométriques pour simplifier les expressions ?
3. Quelle est la relation entre les fréquences des termes dans un produit trigonométrique et la forme simplifiée du produit ?
4. Comment les produits trigonométriques se comportent-ils sous transformation de Fourier ?
5. Existe-t-il des méthodes numériques pour approximer le produit complexe en fonction de $t$ et $n$ ?

Astuce :

Lorsque vous manipulez des produits complexes ou des séries, identifier des motifs périodiques ou des régularités dans les paramètres peut grandement simplifier l'expression finale.