Pour simplifier le produit infini donné par :

$\prod_{i=1}^{N} \sin\left(\frac{2i\pi t}{T_n}\right)$

avec $T_n = 30 + 36n$, nous devons analyser comment la suite $T_n$ influence l'expression générale du produit.

Étapes de Simplification:

1. Expression générale de $T_n$ :
   $T_n = 30 + 36n$.

2. Produit infini :
   Le produit est de la forme suivante :

   $\prod_{i=1}^{N} \sin\left(\frac{2i\pi t}{30 + 36n}\right)$

3. Analyse du comportement de $T_n$ :
   Lorsque $n$ augmente, $T_n$ devient de plus en plus grand, ce qui signifie que l'argument du sinus devient de plus en plus petit pour chaque $i$. Quand l'argument d'une fonction sinus est petit, on peut utiliser l'approximation suivante :

   $\sin(x) \approx x \quad \text{pour } x \text{ proche de } 0$

4. Simplification en utilisant l'approximation :
   Pour $i$ fixé et $n$ suffisamment grand,

   $\sin\left(\frac{2i\pi t}{T_n}\right) \approx \frac{2i\pi t}{T_n} = \frac{2i\pi t}{30 + 36n}$

   Le produit devient alors :

   $\prod_{i=1}^{N} \frac{2i\pi t}{30 + 36n}$

5. Produit des fractions :
   Le produit des termes simplifiés peut être écrit comme :

   $\frac{(2\pi t)^N \prod_{i=1}^{N} i}{(30 + 36n)^N}$

   où $\prod_{i=1}^{N} i = N!$ (factorielle de $N$).

   Donc, l'expression simplifiée est :

   $\frac{(2\pi t)^N N!}{(30 + 36n)^N}$

Conclusion:

La forme simplifiée du produit $\prod_{i=1}^{N} \sin\left(\frac{2i\pi t}{T_n}\right)$ pour $T_n = 30 + 36n$ est approximativement :

$\frac{(2\pi t)^N N!}{(30 + 36n)^N}$

pour $n$ suffisamment grand.

Avez-vous besoin d'autres clarifications ou souhaitez-vous des détails supplémentaires?

Voici cinq questions supplémentaires liées à ce sujet :

1. Comment l'approximation change-t-elle si $n$ n'est pas grand?
2. Comment traiter ce produit si $T_n$ n'est pas arithmétique mais géométrique?
3. Quelle est l'importance de la factorielle $N!$ dans cette expression?
4. Comment ce produit change-t-il si le sinus est remplacé par une autre fonction trigonométrique?
5. Peut-on trouver une expression fermée pour le produit sans approximation?

Conseil: Lorsque vous simplifiez des produits infinis ou des séries, examinez toujours si une approximation est justifiée, car cela peut grandement simplifier l'analyse et fournir une compréhension plus intuitive.