je veut simplifier le produit **∏** sin(2*i*pi*t/Tn) avec Tn est une suite arithmetique Tn= 30+36n.

Pour simplifier le produit infini donné par :

\[
\prod_{i=1}^{N} \sin\left(\frac{2i\pi t}{T_n}\right)
\]

avec \( T_n = 30 + 36n \), nous devons analyser comment la suite \( T_n \) influence l'expression générale du produit.

### Étapes de Simplification:

1. **Expression générale de \( T_n \)** :  
   \( T_n = 30 + 36n \).

2. **Produit infini :**  
   Le produit est de la forme suivante :

   \[
   \prod_{i=1}^{N} \sin\left(\frac{2i\pi t}{30 + 36n}\right)
   \]

3. **Analyse du comportement de \( T_n \)** :  
   Lorsque \( n \) augmente, \( T_n \) devient de plus en plus grand, ce qui signifie que l'argument du sinus devient de plus en plus petit pour chaque \( i \). Quand l'argument d'une fonction sinus est petit, on peut utiliser l'approximation suivante :

   \[
   \sin(x) \approx x \quad \text{pour } x \text{ proche de } 0
   \]

4. **Simplification en utilisant l'approximation :**  
   Pour \( i \) fixé et \( n \) suffisamment grand,

   \[
   \sin\left(\frac{2i\pi t}{T_n}\right) \approx \frac{2i\pi t}{T_n} = \frac{2i\pi t}{30 + 36n}
   \]

   Le produit devient alors :

   \[
   \prod_{i=1}^{N} \frac{2i\pi t}{30 + 36n}
   \]

5. **Produit des fractions :**  
   Le produit des termes simplifiés peut être écrit comme :

   \[
   \frac{(2\pi t)^N \prod_{i=1}^{N} i}{(30 + 36n)^N}
   \]

   où \( \prod_{i=1}^{N} i = N! \) (factorielle de \( N \)).

   Donc, l'expression simplifiée est :

   \[
   \frac{(2\pi t)^N N!}{(30 + 36n)^N}
   \]

### Conclusion:
La forme simplifiée du produit \(\prod_{i=1}^{N} \sin\left(\frac{2i\pi t}{T_n}\right)\) pour \( T_n = 30 + 36n \) est approximativement :

\[
\frac{(2\pi t)^N N!}{(30 + 36n)^N}
\]

pour \( n \) suffisamment grand.

Avez-vous besoin d'autres clarifications ou souhaitez-vous des détails supplémentaires?

Voici cinq questions supplémentaires liées à ce sujet :
1. Comment l'approximation change-t-elle si \( n \) n'est pas grand?
2. Comment traiter ce produit si \( T_n \) n'est pas arithmétique mais géométrique?
3. Quelle est l'importance de la factorielle \( N! \) dans cette expression?
4. Comment ce produit change-t-il si le sinus est remplacé par une autre fonction trigonométrique?
5. Peut-on trouver une expression fermée pour le produit sans approximation?

**Conseil:** Lorsque vous simplifiez des produits infinis ou des séries, examinez toujours si une approximation est justifiée, car cela peut grandement simplifier l'analyse et fournir une compréhension plus intuitive.

Learn how to simplify the infinite product ∏ sin(2iπt/Tn) where Tn = 30 + 36n. This problem involves analyzing the behavior of trigonometric functions in an infinite product with an arithmetic sequence. Suitable for advanced mathematics students and enthusiasts.

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