Pour simplifier l'expression du produit $\prod_{n=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right)$, en utilisant la forme complexe du sinus, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Forme complexe du sinus

Le sinus peut être exprimé sous sa forme complexe en utilisant la formule d'Euler : $\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$ Ainsi, on a : $\sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right) = \frac{e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}}{2i}$

2. Expression du produit

Le produit donné est : $\prod_{n=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right)$ En substituant la forme complexe de $\sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right)$, nous obtenons : $\prod_{n=0}^{n-1} \sin\left(\frac{2\pi t}{T_n}\right) = \prod_{n=0}^{n-1} \frac{e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}}{2i}$ Cela se simplifie en : $\frac{1}{(2i)^{n}} \prod_{n=0}^{n-1} \left(e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}\right)$

3. Simplification

Maintenant, on doit analyser le produit des termes de la forme $\left(e^{i \frac{2\pi t}{T_n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{T_n}}\right)$. Comme $T_n$ est une suite arithmétique avec $T_n = 30 + 36n$, on remplace $T_n$ dans l'expression : $\prod_{n=0}^{n-1} \left(e^{i \frac{2\pi t}{30 + 36n}} - e^{-i \frac{2\pi t}{30 + 36n}}\right)$

4. Interprétation en fonction du produit des exponentielles

Pour chaque $n$, les exponentielles représentent des rotations dans le plan complexe. Le produit de plusieurs sinus en utilisant cette forme complexe peut devenir compliqué à simplifier directement, mais une approche possible est de réorganiser le produit en fonction des fréquences associées à chaque terme.

5. Simplification possible

Si on ne peut pas simplifier directement en un produit plus simple sans informations spécifiques sur $n$ ou $t$, la forme simplifiée serait l'expression donnée ci-dessus. Néanmoins, on pourrait explorer des propriétés spécifiques de $T_n$ pour trouver des simplifications supplémentaires, comme des symétries ou des combinaisons particulières des termes.

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Avez-vous besoin de plus de détails ou d'une explication sur une partie spécifique ?

Questions relatives :

1. Comment manipuler les produits complexes dans les séries arithmétiques ?
2. Quels sont les avantages d'utiliser la forme complexe pour simplifier des expressions trigonométriques ?
3. Comment les propriétés des suites arithmétiques influencent-elles la simplification des expressions trigonométriques ?
4. Existe-t-il des cas particuliers où la simplification des produits trigonométriques devient triviale ?
5. Comment traiter les produits infinis en trigonométrie complexe ?

Astuce :

La forme complexe des fonctions trigonométriques est très utile pour la simplification, surtout dans les contextes de produits ou de séries où des exponentielles peuvent se combiner plus facilement.