Diketahui dari soal:

• Jumlah suku ketiga (s₃) dan suku ketujuh (s₇) suatu deret aritmetika adalah 80.
• Suku kesepuluh (s₁₀) adalah 85.

Kita menggunakan rumus untuk suku ke-n dari deret aritmetika:

$U_n = a + (n-1) \cdot b$

Di mana:

• $U_n$ adalah suku ke-$n$,
• $a$ adalah suku pertama,
• $b$ adalah beda (selisih antar suku).

Langkah 1: Menggunakan informasi dari suku ketiga dan ketujuh

• $U_3 = a + 2b$
• $U_7 = a + 6b$

Diketahui $U_3 + U_7 = 80$, maka:

$(a + 2b) + (a + 6b) = 80$ $2a + 8b = 80 \quad \text{(Persamaan 1)}$ $a + 4b = 40 \quad \text{(dibagi 2)}$

Langkah 2: Menggunakan informasi dari suku kesepuluh

Diketahui $U_{10} = a + 9b = 85$, maka:

$a + 9b = 85 \quad \text{(Persamaan 2)}$

Langkah 3: Menyelesaikan sistem persamaan

Sekarang kita punya dua persamaan:

1. $a + 4b = 40$
2. $a + 9b = 85$

Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2):

$(a + 9b) - (a + 4b) = 85 - 40$ $5b = 45$ $b = 9$

Substitusikan $b = 9$ ke persamaan $a + 4b = 40$:

$a + 4(9) = 40$ $a + 36 = 40$ $a = 4$

Langkah 4: Menentukan rumus jumlah $n$ suku pertama

Rumus jumlah $n$ suku pertama deret aritmetika adalah:

$S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1) b \right)$

Substitusikan nilai $a = 4$ dan $b = 9$:

$S_n = \frac{n}{2} \left( 2(4) + (n-1)(9) \right)$ $S_n = \frac{n}{2} \left( 8 + 9(n-1) \right)$ $S_n = \frac{n}{2} \left( 8 + 9n - 9 \right)$ $S_n = \frac{n}{2} \left( 9n - 1 \right)$

Jadi, rumus jumlah $n$ suku pertama deret tersebut adalah:

$S_n = \frac{n}{2} \left( 9n - 1 \right)$

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang bisa membantu pemahaman lebih lanjut:

1. Bagaimana cara menentukan suku ke-$n$ suatu deret aritmetika?
2. Apa perbedaan antara deret aritmetika dan deret geometri?
3. Bagaimana cara mencari jumlah n suku pertama untuk deret aritmetika?
4. Bagaimana pengaruh perubahan nilai beda (b) terhadap deret aritmetika?
5. Apakah ada cara lain untuk menyelesaikan sistem persamaan di soal ini?

Tip: Memahami pola suku ke-n sangat penting dalam deret aritmetika untuk bisa menyusun rumus-rumus lain dengan benar.