R3において直線x=y/2=z/3に関して点(4,5,6,)をπ/2回転させた点を求めなさい


直線 \( x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) に関して点 \( (4, 5, 6) \) を \( \pi/2 \) 回転させた点を求めます。

まず、この直線の方向ベクトルを求めます。直線のパラメータ表示を考えます：
\[ x = t, \quad y = 2t, \quad z = 3t \]
この直線の方向ベクトルは \( \mathbf{d} = (1, 2, 3) \) です。

次に、点 \( (4, 5, 6) \) から直線に下ろした垂線の足の座標を求めます。点 \( (4, 5, 6) \) を \( \mathbf{P} \)、直線上の任意の点 \( (t, 2t, 3t) \) を \( \mathbf{Q} \) とします。垂線の足は、ベクトル \( \mathbf{PQ} \) と直線の方向ベクトル \( \mathbf{d} \) が垂直である条件を使います。

\[ \mathbf{PQ} = (t-4, 2t-5, 3t-6) \]
垂直条件：
\[ (t-4) \cdot 1 + (2t-5) \cdot 2 + (3t-6) \cdot 3 = 0 \]
これを解きます。
\[ t - 4 + 4t - 10 + 9t - 18 = 0 \]
\[ 14t - 32 = 0 \]
\[ t = \frac{32}{14} = \frac{16}{7} \]

直線上の垂線の足の座標は：
\[ x = \frac{16}{7}, \quad y = 2 \cdot \frac{16}{7} = \frac{32}{7}, \quad z = 3 \cdot \frac{16}{7} = \frac{48}{7} \]

次に、点 \( (4, 5, 6) \) を直線を軸に \( \pi/2 \) 回転させた点を求めます。これは回転行列を使って求めることができますが、ここでは幾何的な考え方を使います。

まず、点 \( (4, 5, 6) \) と垂線の足とのベクトルを求めます：
\[ \mathbf{A} = \left( 4 - \frac{16}{7}, 5 - \frac{32}{7}, 6 - \frac{48}{7} \right) = \left( \frac{28 - 16}{7}, \frac{35 - 32}{7}, \frac{42 - 48}{7} \right) = \left( \frac{12}{7}, \frac{3}{7}, -\frac{6}{7} \right) \]

このベクトルを \( \pi/2 \) 回転させます。回転軸 \( \mathbf{d} = (1, 2, 3) \) に垂直な平面上での回転を考えます。新しいベクトル \( \mathbf{A'} \) を求めます。

\[ \mathbf{A'} = \left( -\frac{3}{7} \cdot 3 + \frac{6}{7} \cdot 2, \frac{3}{7} \cdot 1 - \frac{12}{7} \cdot 3, \frac{12}{7} \cdot 2 - \frac{3}{7} \cdot 1 \right) = \left( -\frac{9}{7} + \frac{12}{7}, \frac{3}{7} - \frac{36}{7}, \frac{24}{7} - \frac{3}{7} \right) = \left( \frac{3}{7}, -\frac{33}{7}, \frac{21}{7} \right) = \left( \frac{3}{7}, -\frac{33}{7}, 3 \right) \]

最後に、垂線の足の座標にこの回転ベクトルを足します：
\[ \left( \frac{16}{7}, \frac{32}{7}, \frac{48}{7} \right) + \left( \frac{3}{7}, -\frac{33}{7}, 3 \right) = \left( \frac{19}{7}, -\frac{1}{7}, \frac{69}{7} \right) = \left( \frac{19}{7}, -\frac{1}{7}, 9 \right) \]

したがって、点 \( (4, 5, 6) \) を直線 \( x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} \) に関して \( \pi/2 \) 回転させた点は \( \left( \frac{19}{7}, -\frac{1}{7}, 9 \right) \) です。

質問があれば教えてください。また、以下の質問に答えてみてください：

1. 二次関数の頂点の求め方は？
2. 行列の積の計算方法は？
3. 微分の基本的なルールは？
4. ベクトルの内積と外積の違いは？
5. 連立方程式の解き方は？

**ヒント**: 行列の回転行列は回転軸と回転角度によって決まります。

Learn how to rotate the point (4, 5, 6) around the line x = y/2 = z/3 by π/2 in 3D space. This problem involves vector operations, including finding perpendicular projections and using rotation matrices for transformations.

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