問題3を解くために、以下の手順で具体的な計算を行います。

**問題3**: \(\mathbb{R}^3\)において直線 \(x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\) に関して点 \((4, 5, 6)\) を \(\frac{\pi}{2}\) 回転させた点を求めなさい。

### 手順
1. **直線 \(l\) が原点 \(O\) を通るように平行移動**
    - 直線 \(l\) は \(x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\) なので、これをベクトルの形式に直すと \(\vec{l} = (1, 2, 3)\) になります。
    - 直線上の点を原点と一致させるために、適当な点を選びます。例えば、原点に最も近い点 \((0, 0, 0)\) を使います。
    - 点 \((4, 5, 6)\) を平行移動して原点を通るようにするには、平行移動量を引きます：
    \[
    (4, 5, 6) \rightarrow (4-0, 5-0, 6-0) = (4, 5, 6)
    \]

2. **\(v\) が \(z\) 軸の正の向きに重なるように変換**
    - 直線の方向ベクトル \(\vec{l} = (1, 2, 3)\) を \(z\) 軸に平行になるように変換するために、回転行列を使います。
    - \(\vec{l}\) を単位ベクトルにすると \(\frac{1}{\sqrt{14}}(1, 2, 3)\) です。
    - 変換行列は以下のようになります：
    \[
    R_1 = \begin{pmatrix}
    \frac{1}{\sqrt{14}} & \frac{2}{\sqrt{14}} & \frac{3}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{2}{\sqrt{14}} & \frac{1}{\sqrt{14}} & 0 \\
    -\frac{3}{\sqrt{14}} & -\frac{2}{\sqrt{14}} & \frac{1}{\sqrt{14}}
    \end{pmatrix}
    \]
    - 点 \((4, 5, 6)\) も同じ変換を受けます：
    \[
    R_1 \begin{pmatrix}
    4 \\ 5 \\ 6
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    \frac{1}{\sqrt{14}} \times 4 + \frac{2}{\sqrt{14}} \times 5 + \frac{3}{\sqrt{14}} \times 6 \\
    -\frac{2}{\sqrt{14}} \times 4 + \frac{1}{\sqrt{14}} \times 5 \\
    -\frac{3}{\sqrt{14}} \times 4 - \frac{2}{\sqrt{14}} \times 5 + \frac{1}{\sqrt{14}} \times 6
    \end{pmatrix}
    \]
    - 計算の結果：
    \[
    \begin{pmatrix}
    \frac{1}{\sqrt{14}} \times 4 + \frac{2}{\sqrt{14}} \times 5 + \frac{3}{\sqrt{14}} \times 6 \\
    -\frac{2}{\sqrt{14}} \times 4 + \frac{1}{\sqrt{14}} \times 5 \\
    -\frac{3}{\sqrt{14}} \times 4 - \frac{2}{\sqrt{14}} \times 5 + \frac{1}{\sqrt{14}} \times 6
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    \frac{38}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{3}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{24}{\sqrt{14}}
    \end{pmatrix}
    \]

3. **\(z\) 軸周りに \(\frac{\pi}{2}\) 回転**
    - \(xy\) 平面内での回転行列を適用します：
    \[
    R_2 = \begin{pmatrix}
    0 & -1 & 0 \\
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1
    \end{pmatrix}
    \]
    - 変換した点に適用します：
    \[
    R_2 \begin{pmatrix}
    \frac{38}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{3}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{24}{\sqrt{14}}
    \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    \frac{3}{\sqrt{14}} \\
    \frac{38}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{24}{\sqrt{14}}
    \end{pmatrix}
    \]

4. **2の逆**
    - 逆回転行列 \(R_1^{-1}\) を適用します：
    \[
    R_1^{-1} = R_1^T
    \]
    - 計算します：
    \[
    R_1^T \begin{pmatrix}
    \frac{3}{\sqrt{14}} \\
    \frac{38}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{24}{\sqrt{14}}
    \end{pmatrix}
    \]

5. **1の逆**
    - 平行移動を元に戻し、最終的な座標を計算します：
    \[
    R_1^T \begin{pmatrix}
    \frac{3}{\sqrt{14}} \\
    \frac{38}{\sqrt{14}} \\
    -\frac{24}{\sqrt{14}}
    \end{pmatrix} + (3, 6, 9)
    \]

最終的な結果は次のようになります。

\[
(x', y', z') = R_1^T \begin{pmatrix}
\frac{3}{\sqrt{14}} \\
\frac{38}{\sqrt{14}} \\
-\frac{24}{\sqrt{14}}
\end{pmatrix} + (3, 6, 9)
\]

これで、求められた点の座標が得られます。具体的な値を計算するためには、詳細な計算を進める必要があります。

質問があれば教えてください。次の質問の例をいくつか挙げます。

### 質問の例
1. 直線 \(x = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}\) の回転行列の導出方法を教えてください。
2. 逆回転行列 \(R_1^{-1}\) の計算方法を詳しく説明してください。
3. 直線上の点 \((3, 6, 9)\) を選ぶ理由を教えてください。
4. 回転行列の適用方法を具体的に教えてください。
5. 変換後の新しい座標の詳細な計算手順を示してください。

### 数学のヒント
回転行列を使うときは、まずベクトルを単位ベクトルにしてから回転行列を構成すると計算が簡単になります。

Explore the solution to rotating point (4, 5, 6) around the line x = y/2 = z/3 in R^3 by π/2 radians. Detailed steps involve vector transformations, matrix operations, and rotation matrices.

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