Tentukan bayangan x + 3y = −5 ketika diputar 90° (ccw) di titik (4, 5) dengan solusi matriks

Untuk menentukan bayangan dari garis \( x + 3y = -5 \) ketika diputar 90° berlawanan arah jarum jam (counter-clockwise, ccw) di titik \((4, 5)\) menggunakan solusi matriks, kita perlu melakukan beberapa langkah. Langkah-langkah ini melibatkan transformasi koordinat dan aplikasi matriks rotasi. Berikut adalah langkah-langkah rinci beserta solusi:

1. **Translasi ke Asal (0, 0):**
   Translasi titik pusat rotasi \((4, 5)\) ke asal. Jika suatu titik \((x, y)\) diterjemahkan oleh \((h, k)\), maka koordinat baru \((x', y')\) adalah:
   \[
   x' = x - h
   \]
   \[
   y' = y - k
   \]
   
   Dengan demikian, persamaan \( x + 3y = -5 \) setelah translasi menjadi:
   \[
   (x - 4) + 3(y - 5) = -5
   \]
   \[
   x - 4 + 3y - 15 = -5
   \]
   \[
   x + 3y = 14
   \]

2. **Rotasi 90° ccw:**
   Matriks rotasi 90° ccw adalah:
   \[
   R = \begin{bmatrix}
   0 & -1 \\
   1 & 0
   \end{bmatrix}
   \]
   Jika kita memiliki titik \((x, y)\), koordinat baru \((x', y')\) setelah rotasi diberikan oleh:
   \[
   \begin{bmatrix}
   x' \\
   y'
   \end{bmatrix} = R \begin{bmatrix}
   x \\
   y
   \end{bmatrix}
   \]
   Substitusi titik dalam bentuk translasi menghasilkan:
   \[
   \begin{bmatrix}
   x' \\
   y'
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   0 & -1 \\
   1 & 0
   \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
   x - 4 \\
   y - 5
   \end{bmatrix}
   \]
   \[
   \begin{bmatrix}
   x' \\
   y'
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   -(y - 5) \\
   x - 4
   \end{bmatrix}
   \]
   \[
   x' = -y + 5
   \]
   \[
   y' = x - 4
   \]

3. **Substitusi ke dalam Persamaan Baru:**
   Kita substitusi \( x' = -y + 5 \) dan \( y' = x - 4 \) ke persamaan \( x + 3y = 14 \):
   \[
   (-y + 5) + 3(x - 4) = 14
   \]
   \[
   -y + 5 + 3x - 12 = 14
   \]
   \[
   3x - y - 7 = 14
   \]
   \[
   3x - y = 21
   \]

4. **Translasi Kembali ke Titik Asal:**
   Setelah rotasi, translasi kembali ke titik pusat \((4, 5)\):
   \[
   \begin{bmatrix}
   x'' \\
   y''
   \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   x' + 4 \\
   y' + 5
   \end{bmatrix}
   \]
   Jadi, kita perlu substitusi ke persamaan \( 3x - y = 21 \):
   \[
   3(x - 4) - (y - 5) = 21
   \]
   \[
   3x - 12 - y + 5 = 21
   \]
   \[
   3x - y - 7 = 21
   \]
   \[
   3x - y = 28
   \]

Jadi, bayangan dari garis \( x + 3y = -5 \) ketika diputar 90° ccw di titik \( (4, 5) \) adalah garis dengan persamaan \( 3x - y = 28 \).

**Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?**

**Berikut adalah 8 pertanyaan terkait:**
1. Bagaimana cara melakukan translasi koordinat dalam geometri analitik?
2. Apa definisi dari matriks rotasi dalam aljabar linear?
3. Bagaimana cara menentukan persamaan garis setelah translasi dan rotasi?
4. Mengapa kita perlu menggunakan matriks untuk transformasi geometris?
5. Apa perbedaan antara rotasi searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam dalam konteks matriks rotasi?
6. Bagaimana cara menggunakan determinan untuk menentukan sifat matriks rotasi?
7. Apa hubungan antara transformasi linier dan matriks transformasi?
8. Bagaimana cara memverifikasi hasil transformasi geometris dalam konteks geometri analitik?

**Tip:** Selalu periksa kembali langkah-langkah transformasi untuk memastikan tidak ada kesalahan dalam perhitungan atau penafsiran geometris.

Explore how to rotate the line x + 3y = -5 90 degrees counterclockwise (CCW) at the point (4, 5) using matrix rotation. This problem involves coordinate geometry and matrix transformations, suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation