Обратное неравенство треугольника утверждает следующее:

Если для вещественных чисел $a$, $b$, и $c$ выполнено:

$|a| + |b| \leq |c|,$

то $a$ и $b$ должны иметь одинаковое направление (то есть $a = \lambda b$ для какого-то вещественного числа $\lambda \geq 0$) и при этом $c = |a| + |b|$.

Для доказательства обратного неравенства треугольника рассмотрим следующую логическую цепочку:

1. Предположим, что выполняется обратное неравенство:

$|a| + |b| \leq |c|.$

Это значит, что сумма длин модулей чисел $a$ и $b$ не превышает модуль числа $c$.

2. Свойства модулей и равенство нулю:

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, можно рассмотреть два случая.

Случай 1: $a = 0$ и $b = 0$.

В этом случае: $|a| + |b| = 0,$ а значит, $|c| \geq 0$. Это верно для любого вещественного числа $c$, поскольку модуль числа всегда неотрицателен. Следовательно, в данном случае обратное неравенство выполняется.

Случай 2: $a \neq 0$ и/или $b \neq 0$.

Теперь рассмотрим, что сумма модулей $|a| + |b|$ равна $|c|$. Это возможно, только если числа $a$ и $b$ направлены в одну сторону, то есть $a$ и $b$ являются коллинеарными, и векторы $a$ и $b$ можно представить как пропорциональные друг другу.

3. Коллинеарность чисел.

Для этого необходимо, чтобы $a = \lambda b$, где $\lambda \geq 0$. Если это условие выполнено, тогда обратное неравенство треугольника выполняется, так как длина суммы $a$ и $b$ не будет превышать сумму их модулей.

Таким образом, доказано, что если выполнено условие $|a| + |b| \leq |c|$, то $a$ и $b$ должны быть направлены в одну сторону.

---

Могу рассказать подробнее о каком-то шаге или обсудить другие вопросы? Вот несколько связанных вопросов:

1. Какие условия равенства в треугольном неравенстве?
2. Как модуль числа связан с направлением векторов?
3. В каких случаях обратное неравенство треугольника не выполняется?
4. Как графически интерпретировать обратное неравенство треугольника?
5. Какое отношение имеет обратное неравенство треугольника к векторному пространству?

Совет: Модуль числа показывает его расстояние от нуля на числовой оси, что важно при работе с неравенствами.