Чтобы доказать обратное неравенство треугольника $\left|a \pm b\right| \ge \left|\left|a\right| - \left|b\right|\right|,$ исходя из неравенства треугольника $\left|a + b\right| \leq \left|a\right| + \left|b\right|,$ действуем следующим образом.

1. Доказательство для $\left|a + b\right|$

Для начала рассмотрим случай $\left|a + b\right|$. Мы знаем неравенство треугольника: $\left|a + b\right| \leq \left|a\right| + \left|b\right|.$ Теперь вычтем $\left|a\right| - \left|b\right|$ из обеих частей неравенства: $\left|a + b\right| - \left|a\right| \leq \left|b\right|.$ Отсюда видно, что $\left|a + b\right| \geq \left|\left|a\right| - \left|b\right|\right|.$

Этот вывод следует из того, что вычитание неравенств не меняет знак неравенства, и абсолютная величина разности $\left|a\right| - \left|b\right|$ всегда меньше или равна сумме модулей.

2. Доказательство для $\left|a - b\right|$

Теперь рассмотрим случай $\left|a - b\right|$. Мы можем применить неравенство треугольника к величине $\left|a - b\right|$, которое в сущности эквивалентно $\left|a + (-b)\right|$: $\left|a - b\right| = \left|a + (-b)\right| \leq \left|a\right| + \left|-b\right| = \left|a\right| + \left|b\right|.$ По аналогии, как и для первого случая, используя симметрию между суммой и разностью модулей, мы также можем получить: $\left|a - b\right| \geq \left|\left|a\right| - \left|b\right|\right|.$

Заключение

Таким образом, используя стандартное неравенство треугольника, мы можем доказать обратное неравенство треугольника: $\left|a \pm b\right| \geq \left|\left|a\right| - \left|b\right|\right|.$ Это неравенство подтверждает, что абсолютная величина разности векторов всегда больше или равна разности их модулей.

---

Есть ли у вас вопросы или хотите, чтобы я подробнее пояснил какой-либо шаг?

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как доказать неравенство треугольника через свойства норм?
2. Можно ли применить данное неравенство к комплексным числам?
3. Как связаны неравенства треугольника с расстоянием в пространстве?
4. Как доказать обобщенное неравенство треугольника для n векторов?
5. Каковы геометрические интерпретации этих неравенств на плоскости?

Совет: Применяйте неравенство треугольника при оценке длины суммы или разности векторов, чтобы получать верхние и нижние границы для расстояний в задачах геометрии или анализа.