任意の実数 a と b に対して、下記が成り立つことを示せ。

(1) |a + b| ≤ |a| + |b|

任意の実数 \( a \) と \( b \) に対して、次の不等式が成り立つことを示します。

\[ |a + b| \leq |a| + |b| \]

この不等式は、**三角不等式 (Triangle Inequality)** と呼ばれるもので、複素数やベクトルのノルムに関する基本的な性質の一つです。証明は以下のように進めます。

### 証明

まず、絶対値の定義を思い出しましょう。絶対値 \( |x| \) は次のように定義されます：

\[ |x| = \begin{cases}
x & \text{if } x \geq 0 \\
-x & \text{if } x < 0
\end{cases} \]

この定義を用いて、いくつかの不等式を導出します。

1. \( |a| \) の定義から、次の不等式が成り立ちます：
   \[ -|a| \leq a \leq |a| \]

2. 同様に、\( |b| \) についても次の不等式が成り立ちます：
   \[ -|b| \leq b \leq |b| \]

3. これらの不等式を加算すると、次のようになります：
   \[ -|a| - |b| \leq a + b \leq |a| + |b| \]

この結果から、\( a + b \) の絶対値を取ると次の不等式が成り立ちます：
\[ |a + b| \leq |a| + |b| \]

このようにして、任意の実数 \( a \) と \( b \) に対して、三角不等式が成り立つことを示しました。

これで証明が完了しました。

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ご質問や詳しい説明が必要ですか？以下の質問を考えてみてください。

1. 三角不等式の具体例を教えてください。
2. 三角不等式はベクトルでも成り立ちますか？
3. 絶対値の定義について詳しく教えてください。
4. 他の基本的な不等式について知りたいです。
5. 三角不等式が応用される分野を教えてください。

### Tip:
三角不等式は、距離やノルムの概念を理解する上で非常に重要です。ベクトルや複素数の解析にも頻繁に登場するので、しっかりと理解しておきましょう。

Learn how to prove the triangle inequality |a + b| ≤ |a| + |b| for any real numbers a and b. This fundamental inequality is crucial in understanding distance and norm concepts in mathematics.

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