Prove the Triangle Inequality for Real Numbers a and b

Math Problem Statement

任意の実数 a と b に対して、下記が成り立つことを示せ。

(1) |a + b| ≤ |a| + |b|

任意の実数 $a$ と $b$ に対して、次の不等式が成り立つことを示します。

$|a + b| \leq |a| + |b|$

この不等式は、三角不等式 (Triangle Inequality) と呼ばれるもので、複素数やベクトルのノルムに関する基本的な性質の一つです。証明は以下のように進めます。

まず、絶対値の定義を思い出しましょう。絶対値 $|x|$ は次のように定義されます：

x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$$ この定義を用いて、いくつかの不等式を導出します。 1. $$|a|$$ の定義から、次の不等式が成り立ちます： $$-|a| \leq a \leq |a|$$ 2. 同様に、$$|b|$$ についても次の不等式が成り立ちます： $$-|b| \leq b \leq |b|$$ 3. これらの不等式を加算すると、次のようになります： $$-|a| - |b| \leq a + b \leq |a| + |b|$$ この結果から、$$a + b$$ の絶対値を取ると次の不等式が成り立ちます： $$|a + b| \leq |a| + |b|$$ このようにして、任意の実数 $$a$$ と $$b$$ に対して、三角不等式が成り立つことを示しました。 これで証明が完了しました。 --- ご質問や詳しい説明が必要ですか？以下の質問を考えてみてください。 1. 三角不等式の具体例を教えてください。 2. 三角不等式はベクトルでも成り立ちますか？ 3. 絶対値の定義について詳しく教えてください。 4. 他の基本的な不等式について知りたいです。 5. 三角不等式が応用される分野を教えてください。 ### Tip: 三角不等式は、距離やノルムの概念を理解する上で非常に重要です。ベクトルや複素数の解析にも頻繁に登場するので、しっかりと理解しておきましょう。

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