Resuelve con el factor integrante lo siguiente: Se depositan 10000 pesos a una cuenta de CETES con inter ́es anual de
11.45 % y adem ́as cada a ̃no se depositan 10000 pesos extra a la cuenta.
¿Cuanto dinero habr ́a en la cuenta despu ́es de 10 a ̃nos?

Para resolver este problema, utilizaremos la técnica del **factor integrante** para resolver una ecuación diferencial lineal que modela el crecimiento del dinero en una cuenta con depósitos regulares y un interés compuesto.

### Planteamiento del Problema

Dado que se depositan $10,000$ pesos inicialmente y cada año se agregan $10,000$ pesos adicionales, y que la cuenta gana un interés anual del $11.45\%$, podemos modelar el crecimiento del dinero en la cuenta con la siguiente ecuación diferencial:

\[
\frac{dA(t)}{dt} = rA(t) + P,
\]

donde:
- $A(t)$ es el monto en la cuenta en el tiempo $t$ (en años).
- $r = 0.1145$ es la tasa de interés anual del $11.45\%$.
- $P = 10,000$ es el monto que se deposita anualmente.

#### Condiciones Iniciales

Al comienzo (en $t = 0$), el monto inicial en la cuenta es $A(0) = 10,000$.

### Solución usando Factor Integrante

Para resolver la ecuación diferencial de la forma $\frac{dA}{dt} - rA = P$, identificamos que es una ecuación diferencial lineal de primer orden. La solución de tal ecuación se puede encontrar utilizando un **factor integrante**.

1. **Ecuación Diferencial en Forma Estándar:**

\[
\frac{dA}{dt} - 0.1145A = 10,000.
\]

2. **Encontrar el Factor Integrante:**

El factor integrante $ \mu(t) $ es:

\[
\mu(t) = e^{\int -0.1145 \, dt} = e^{-0.1145t}.
\]

3. **Multiplicar Toda la Ecuación por el Factor Integrante:**

\[
e^{-0.1145t} \frac{dA}{dt} - 0.1145 e^{-0.1145t} A = 10,000 e^{-0.1145t}.
\]

Esto se puede simplificar a:

\[
\frac{d}{dt} \left( e^{-0.1145t} A(t) \right) = 10,000 e^{-0.1145t}.
\]

4. **Integrar Ambos Lados:**

\[
e^{-0.1145t} A(t) = \int 10,000 e^{-0.1145t} \, dt.
\]

Calculando la integral:

\[
e^{-0.1145t} A(t) = \frac{10,000}{-0.1145} e^{-0.1145t} + C,
\]

donde $C$ es la constante de integración.

Simplificando:

\[
e^{-0.1145t} A(t) = -87,337.89 e^{-0.1145t} + C.
\]

5. **Resolver para $A(t)$:**

Multiplicando ambos lados por $e^{0.1145t}$:

\[
A(t) = -87,337.89 + Ce^{0.1145t}.
\]

6. **Aplicar la Condición Inicial $A(0) = 10,000$:**

\[
10,000 = -87,337.89 + C.
\]

Resolviendo para $C$:

\[
C = 97,337.89.
\]

7. **Solución General:**

Sustituyendo $C$ en la solución general:

\[
A(t) = -87,337.89 + 97,337.89 e^{0.1145t}.
\]

8. **Calcular $A(10)$:**

Finalmente, para encontrar el monto en la cuenta después de 10 años ($t = 10$):

\[
A(10) = -87,337.89 + 97,337.89 e^{0.1145 \cdot 10}.
\]

Calculamos el exponente:

\[
e^{0.1145 \cdot 10} = e^{1.145} \approx 3.143.
\]

Por lo tanto:

\[
A(10) = -87,337.89 + 97,337.89 \times 3.143.
\]

Calculando el valor:

\[
A(10) \approx -87,337.89 + 305,863.06 = 218,525.17.
\]

### Resultado Final

Después de 10 años, habrá aproximadamente **218,525.17 pesos** en la cuenta.

¿Te gustaría ver más detalles sobre el cálculo o tienes alguna otra pregunta?

---

**Preguntas Relacionadas:**

1. ¿Cómo se derivan las ecuaciones diferenciales en otros contextos financieros?
2. ¿Cómo cambia el resultado si se deposita una cantidad diferente cada año?
3. ¿Qué sucede si el interés compuesto se calcula de forma mensual en lugar de anual?
4. ¿Cómo afecta una tasa de interés variable al resultado?
5. ¿Cuáles son otros métodos para resolver ecuaciones diferenciales financieras?

**Tip:** Cuando trabajes con ecuaciones diferenciales, asegúrate de entender primero su tipo (lineal, no lineal, homogénea, no homogénea) para elegir la técnica de solución adecuada.

Aprende cómo calcular el crecimiento del dinero en una cuenta de CETES con depósitos regulares y un interés anual del 11.45%. Utilizando la técnica del factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales lineales, descubre cómo determinar el monto en la cuenta después de 10 años. Ideal para estudiantes universitarios y entusiastas de las finanzas.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation