Vi ska nu undersöka funktionen:

$y = -2x^2 + 4x + 6$

---

a) Skärningspunkter med koordinataxlarna

1. Skärning med x-axeln

För att hitta skärningspunkterna med x-axeln, sätter vi $y = 0$ och löser för $x$.

$0 = -2x^2 + 4x + 6$

Detta är en andragradsekvation. Vi löser den genom att använda kvadratkomplettering eller den allmänna andragradsekvationsformeln:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Där $a = -2$, $b = 4$, och $c = 6$. Vi sätter in värdena i formeln:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-2)(6)}}{2(-2)}$

Beräkna diskriminanten:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 48}}{-4}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{-4}$

$x = \frac{-4 \pm 8}{-4}$

Det ger två lösningar:

$x_1 = \frac{-4 + 8}{-4} = \frac{4}{-4} = -1$ $x_2 = \frac{-4 - 8}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$

Så skärningspunkterna med x-axeln är:

$(-1, 0) \quad \text{och} \quad (3, 0)$

2. Skärning med y-axeln

För att hitta skärningspunkten med y-axeln, sätter vi $x = 0$ och löser för $y$:

$y = -2(0)^2 + 4(0) + 6$

$y = 6$

Så skärningspunkten med y-axeln är:

$(0, 6)$

---

Sammanfattning för del a):

• Skärning med x-axeln: (-1, 0) och (3, 0)
• Skärning med y-axeln: (0, 6)

---

b) Koordinaterna för punkten där $x = 4$

För att beräkna $y$-värdet när $x = 4$, sätter vi in $x = 4$ i funktionen:

$y = -2(4)^2 + 4(4) + 6$

Beräkna:

$y = -2(16) + 16 + 6$

$y = -32 + 16 + 6$

$y = -32 + 22 = -10$

Så koordinaten för punkten där $x = 4$ är:

$(4, -10)$

---

Sammanfattning för del b):

• Koordinaterna för punkten med $x = 4$ är (4, -10).

---

c) Koordinaterna för punkterna där $y = 6$

För att hitta koordinaterna när $y = 6$, sätter vi $y = 6$ i funktionen och löser för $x$:

$6 = -2x^2 + 4x + 6$

Subtrahera 6 från båda sidor:

$0 = -2x^2 + 4x$

Faktorisera:

$0 = -2x(x - 2)$

Det ger två lösningar:

1. $x = 0$
2. $x = 2$

Så punkterna där $y = 6$ är:

$(0, 6) \quad \text{och} \quad (2, 6)$

---

Sammanfattning för del c):

• Koordinaterna för punkterna där $y = 6$ är (0, 6) och (2, 6).

---

Slutgiltig sammanfattning:

• a) Skärningspunkter:
  • x-axeln: (-1, 0) och (3, 0)
  • y-axeln: (0, 6)
• b) Punkt för $x = 4$: (4, -10)
• c) Punkter för $y = 6$: (0, 6) och (2, 6)

Vill du att jag förklarar någon del mer detaljerat? 😊