Jika a dan b bilangan bulat, sehingga 2010+ 2√2009 merupakan solusi persamaan x² + ax + b = 0, maka nilai a + b adalah..

A. 2010

B. 2011

C. 2012

D. -2010

E. -2012

Diketahui bahwa \( 2010 + 2\sqrt{2009} \) adalah salah satu solusi dari persamaan kuadrat \( x^2 + ax + b = 0 \). Mari kita gunakan sifat-sifat dasar dari akar-akar persamaan kuadrat untuk menemukan nilai \( a + b \).

Jika \( p \) dan \( q \) adalah akar-akar dari persamaan kuadrat \( x^2 + ax + b = 0 \), maka:

\[
p + q = -a \quad \text{(Jumlah akar-akar)}
\]
\[
pq = b \quad \text{(Hasil kali akar-akar)}
\]

Karena \( 2010 + 2\sqrt{2009} \) adalah salah satu akar, maka akar lainnya haruslah \( 2010 - 2\sqrt{2009} \) untuk memastikan bahwa koefisien dari \( x \) adalah bilangan rasional (karena koefisien \( x \) yaitu \( a \) adalah bilangan bulat).

Sekarang kita hitung \( a \) dan \( b \):

1. **Jumlah akar-akar**:

\[
p + q = \left(2010 + 2\sqrt{2009}\right) + \left(2010 - 2\sqrt{2009}\right) = 2010 + 2010 = 4020
\]

Maka, \( -a = 4020 \) atau \( a = -4020 \).

2. **Hasil kali akar-akar**:

\[
pq = \left(2010 + 2\sqrt{2009}\right)\left(2010 - 2\sqrt{2009}\right)
\]

Menggunakan identitas \( (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \), kita dapatkan:

\[
pq = 2010^2 - \left(2\sqrt{2009}\right)^2 = 2010^2 - 4 \times 2009
\]

\[
pq = 4040100 - 8036 = 4032064
\]

Maka, \( b = 4032064 \).

Sekarang kita hitung nilai \( a + b \):

\[
a + b = -4020 + 4032064 = 4028044
\]

Namun, nilai ini tidak sesuai dengan pilihan jawaban yang tersedia. Mari kita periksa apakah ada kesalahan dalam interpretasi soal atau kita salah menafsirkan bilangan-bilangannya.

Berdasarkan langkah di atas, perhitungan yang relevan menunjukkan bahwa nilai yang dihitung tidak sesuai dengan opsi pilihan. Tetapi, jika dilihat dari pilihan yang diberikan, kesimpulannya mungkin perlu direvisi.

Namun, dari perhitungan kita, nilai yang diperoleh tidak sesuai dengan opsi yang diberikan.

Jika interpretasi soal mengikuti langkah ini, seharusnya tidak sesuai dengan opsi yang diberikan.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau detail lainnya?

**Pertanyaan terkait:**

1. Bagaimana kita mengidentifikasi jumlah akar-akar dalam persamaan kuadrat?
2. Bagaimana identitas \( (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 \) digunakan dalam penyelesaian masalah ini?
3. Apa yang terjadi jika hanya satu solusi yang diberikan dalam soal persamaan kuadrat?
4. Bagaimana menentukan nilai a dan b dalam konteks persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar non-rasional?
5. Apakah ada metode lain untuk memverifikasi nilai-nilai dalam solusi persamaan kuadrat ini?

**Tip:** Dalam soal-soal kuadrat dengan akar-akar yang tidak rasional, sering kali solusi melibatkan penggunaan identitas aljabar seperti \( (x + y)(x - y) \) untuk menyederhanakan perhitungan.

Explore the solution to the quadratic equation problem where 2010 + 2√2009 is one of the roots. Understand the application of quadratic equation properties and theorems. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation