لحل هذه المسألة التي تتعلق بإثبات توازي المستقيمين $NM$ و $BC$ وحساب طول $MN$، سنحل الخطوات كما يلي:

---

1) إثبات أن $NM \parallel BC$:

وفقًا لنظرية المثلث والتناسب، إذا كانت النقطتان $I$ و$N$ تقسمان الأضلاع $MI$ و$IC$ بالتناسب، فإن $NM \parallel BC$.

• معطى:

  • $MI = 8$
  • $IC = 12$
  • $NI = 10$
  • $IB = 15$
  • $BC = 18$

• نحسب نسبة التقسيم: $\text{النسبة الأولى} = \frac{MI}{IC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ $\text{النسبة الثانية} = \frac{NI}{IB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

• بما أن النسبتين متساويتان ($\frac{MI}{IC} = \frac{NI}{IB}$)، فإن المستقيم $NM$ يوازي $BC$، حسب نظرية التناسب.

---

2) حساب طول $MN$:

لحساب طول $MN$، نستفيد من كون $NM \parallel BC$، وبالتالي يكون $MN$ و$BC$ متناسبين مع النسبتين بين الأضلاع.

طول $MN$ يحسب بالعلاقة: $MN = BC \cdot \frac{MI}{MI + IC}$

• حساب $MI + IC$: $MI + IC = 8 + 12 = 20$

• نسبة التقسيم: $\frac{MI}{MI + IC} = \frac{8}{20} = 0.4$

• حساب $MN$: $MN = BC \cdot \frac{MI}{MI + IC} = 18 \cdot 0.4 = 7.2$

---

الإجابة النهائية:

1. $NM \parallel BC$، لأن النسبتين متساويتان ($\frac{MI}{IC} = \frac{NI}{IB}$).
2. طول $MN = 7.2$ وحدة.

---

هل تريد توضيح أي خطوة أو المزيد من الشرح؟ إليك 5 أسئلة إضافية لتوسيع الفهم:

1. ما أهمية نظرية التناسب في إثبات توازي مستقيمين؟
2. كيف يتم استخدام النسب لتحديد موقع نقطة تقسيم على مستقيم؟
3. هل يمكن إيجاد طول آخر إذا تغيرت النسب بين الأضلاع؟
4. ما التطبيقات العملية لتوازي المستقيمات في الهندسة؟
5. كيف يمكن استخدام هذه الطريقة لإثبات التوازي في أشكال أخرى؟

نصيحة: تحقق دائمًا من صحة العمليات الحسابية عند التعامل مع النسب لتجنب الأخطاء.