لحل المسألة:

المعطيات:

• $MI = 8$
• $IC = 12$
• $NI = 10$
• $IB = 15$
• $BC = 18$

---

1) إثبات أن $NM \parallel BC$:

لدينا المثلث $\triangle NIC$ والمثلث $\triangle MIB$.

نبدأ بحساب نسب الأطوال:

• من جهة المثلث $\triangle NIC$:
  $\frac{NI}{IC} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

• من جهة المثلث $\triangle MIB$:
  $\frac{MI}{IB} = \frac{8}{15}$

التحقق:

• النسب بين الأطوال غير متساوية: $\frac{NI}{IC} \neq \frac{MI}{IB}$
  وبالتالي، يمكن استنتاج أن $NM \parallel BC$ باستخدام مبرهنة التوازي.

---

2) حساب طول $MN$:

لدينا المعادلة التالية لحساب $MN$ باستخدام مبرهنة تشابه المثلثات:

$\frac{MN}{BC} = \frac{MI}{IB}$

• نعوض القيم: $\frac{MN}{18} = \frac{8}{15}$

• بحل المعادلة: $MN = \frac{8 \cdot 18}{15}$

• نكمل الحساب: $MN = \frac{144}{15} = 9.6$

إذن طول $MN = 9.6$ وحدة.

---

الخلاصة:

1. إثبات أن $NM \parallel BC$ يعتمد على تشابه المثلثات.
2. طول $MN$ يساوي $9.6$ وحدة.

---

أسئلة مرتبطة:

1. كيف يمكن التأكد من التشابه بين المثلثين في المسألة؟
2. ما هو تأثير اختلاف النسب على التوازي؟
3. كيف يمكن استخدام مبرهنة التوازي لتحديد التشابه؟
4. ما هي خطوات حساب طول الأضلاع باستخدام النسب؟
5. هل يمكن استنتاج زاوية بين $NM$ و$BC$ بناءً على المعطيات؟

نصيحة:

احرص دائمًا على التحقق من أن نسب الأطوال تحقق شروط التشابه عند دراسة التوازي في المثلثات.