Щоб довести, що точки $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ належать тій самій площині, в якій лежать середини ланок замкненої ламаної $ABCDE$, скористаємося таким міркуванням:

1. Нехай точки $M_1, M_2, M_3, M_4, M_5$ є серединами ланок $AB, BC, CD, DE$ і $EA$ відповідно.
2. За умовою, всі ці точки належать одній площині $\alpha$.
3. Для кожної пари точок на відрізку, середина належить тій же самій площині, що й кінці цього відрізку. Тобто якщо середина ланки лежить у площині, то й кінці цієї ланки лежать у цій самій площині.
4. Тому, якщо всі середини ланок належать площині $\alpha$, то й кінці всіх ланок, тобто точки $A, B, C, D, E$, теж належать цій площині.

Таким чином, ми довели, що всі точки $A, B, C, D, E$ належать площині $\alpha$, оскільки середини ланок між цими точками належать тій самій площині.

Хочете більше деталей або маєте питання?

П'ять відносних питань:

1. Як визначити рівняння площини через три точки в просторі?
2. Які умови для того, щоб точки були копланарні?
3. Як використовувати векторний добуток для знаходження нормалі до площини?
4. Як довести, що замкнена ламана є площинною, маючи координати точок?
5. Що таке компланарність і як її перевіряти для чотирьох точок у просторі?

Порада: Для доведення копланарності точок можна використовувати детермінант матриці, складеної з їхніх координат.