В задаче дан параллелограмм ABCD, и необходимо найти координаты точки $D$.

Так как ABCD — это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей совпадают. Если точки $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$ и $D(x_4, y_4, z_4)$ являются вершинами параллелограмма, то середины диагоналей $AC$ и $BD$ должны иметь одинаковые координаты.

Для нахождения координат точки $D(x_4, y_4, z_4)$ можно использовать следующее соотношение для середин:

$\text{Середина диагонали AC} = \text{Середина диагонали BD}$

Координаты середины отрезка $AC$ можно найти по формуле:

$M_1 = \left( \frac{x_1 + x_3}{2}, \frac{y_1 + y_3}{2}, \frac{z_1 + z_3}{2} \right)$

А координаты середины отрезка $BD$ по формуле:

$M_2 = \left( \frac{x_2 + x_4}{2}, \frac{y_2 + y_4}{2}, \frac{z_2 + z_4}{2} \right)$

Так как середины диагоналей совпадают, приравниваем $M_1$ и $M_2$:

$\frac{x_1 + x_3}{2} = \frac{x_2 + x_4}{2}, \quad \frac{y_1 + y_3}{2} = \frac{y_2 + y_4}{2}, \quad \frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$

Теперь подставим значения координат точек $A(1, 3, 5)$, $B(2, 4, 6)$, $C(3, 4, 5)$:

$\frac{1 + 3}{2} = \frac{2 + x_4}{2}, \quad \frac{3 + 4}{2} = \frac{4 + y_4}{2}, \quad \frac{5 + 5}{2} = \frac{6 + z_4}{2}$

Решаем систему уравнений:

1. $\frac{4}{2} = \frac{2 + x_4}{2}$ ⇒ $2 = \frac{2 + x_4}{2}$ ⇒ $4 = 2 + x_4$ ⇒ $x_4 = 2$
2. $\frac{7}{2} = \frac{4 + y_4}{2}$ ⇒ $7 = 4 + y_4$ ⇒ $y_4 = 3$
3. $\frac{10}{2} = \frac{6 + z_4}{2}$ ⇒ $5 = \frac{6 + z_4}{2}$ ⇒ $10 = 6 + z_4$ ⇒ $z_4 = 4$

Таким образом, координаты точки $D$ равны $D(2, 3, 4)$.

Есть ли дополнительные вопросы или нужна дополнительная информация? Вот несколько тем для продолжения:

1. Как решать задачи на нахождение координат в пространстве?
2. Как использовать свойства параллелограмма в задачах на координатах?
3. Что такое средняя точка отрезка и как она используется в геометрии?
4. Что еще можно узнать о параллелограммах через координаты?
5. Как определить, являются ли четыре точки вершинами параллелограмма?

Совет: Когда решаете задачи на координаты, всегда обращайте внимание на геометрические свойства фигур, такие как середины диагоналей в параллелограммах, чтобы упростить решение.