Math Problem Statement

Si {an} es una sucesion con una subsucesion {ank}, entonces nk>=n?

Solution

En general, sí, si {an}\{a_n\} es una sucesión y {ank}\{a_{n_k}\} es una subsucesión de {an}\{a_n\}, entonces los índices nkn_k cumplen que nknn_k \geq n para cualquier k1k \geq 1.

Esto se debe a que una subsucesión {ank}\{a_{n_k}\} se forma eligiendo ciertos términos de la sucesión original {an}\{a_n\}, pero con la condición de que los índices nkn_k de la subsucesión estén ordenados en forma creciente. Esto implica que:

  1. n1<n2<n3<n_1 < n_2 < n_3 < \dots
  2. nkkn_k \geq k, ya que para cualquier índice kk, el término anka_{n_k} es un elemento de {an}\{a_n\} con un índice mayor o igual al número de términos seleccionados hasta ese punto.

Sin embargo, no es estrictamente necesario que nknn_k \geq n para todo nn (es decir, nkn_k no tiene que ser mayor o igual que cada nn en la sucesión original), sino que nkn_k simplemente debe cumplir con n1<n2<n3<n_1 < n_2 < n_3 < \dots para que sea una subsucesión.

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