Nous avons deux réels $a$ et $b$ tels que $\left|a\right| < 1$ et $\left|b\right| < 1$, et nous devons montrer que :

$\left|a + b\right| < \left|1 + ab\right|.$

Étape 1 : Encadrement des termes

Puisque $\left|a\right| < 1$, on peut écrire : $-1 < a < 1.$ De même, comme $\left|b\right| < 1$, on a : $-1 < b < 1.$

Étape 2 : Encadrement du produit $ab$

Comme $a \in (-1, 1)$ et $b \in (-1, 1)$, on peut en déduire que : $-1 < ab < 1,$ ce qui implique que $1 + ab > 0$.

Étape 3 : Utilisation d'une inégalité connue

Il est connu que si $\left|a\right| < 1$ et $\left|b\right| < 1$, alors : $\left|a + b\right| < 1.$ Cela se vérifie simplement par le fait que $-1 < a < 1$ et $-1 < b < 1$, donc leur somme reste inférieure à 1 en valeur absolue.

Étape 4 : Comparaison des deux membres

Nous avons montré que $\left|a + b\right| < 1$ et également $1 + ab > 0$. Comme $1 + ab$ est strictement supérieur à 1, on a donc : $\left|a + b\right| < 1 < 1 + ab.$ Ainsi : $\left|a + b\right| < \left|1 + ab\right|,$ ce qui conclut la démonstration.

Conclusion

Nous avons donc montré que pour $\left|a\right| < 1$ et $\left|b\right| < 1$, il est vrai que : $\left|a + b\right| < \left|1 + ab\right|.$

Voulez-vous plus de détails sur une étape spécifique ?

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Voici 5 questions liées à ce sujet :

1. Comment prouver l'inégalité pour des valeurs spécifiques de $a$ et $b$ ?
2. Quelles sont les propriétés des valeurs absolues utilisées dans cette démonstration ?
3. Comment généraliser cette inégalité à d'autres intervalles pour $a$ et $b$ ?
4. Existe-t-il d'autres inégalités intéressantes impliquant des produits et des sommes similaires ?
5. Comment la géométrie du plan complexe intervient-elle dans ce type d'inégalités ?

Astuce : Utilisez souvent les propriétés des valeurs absolues pour simplifier les inégalités et repérer les relations entre les termes.