$$ \text{soit a et }b\text{ } $$deux réel , montrer que : $$ \left\vert a\right\vert<1et\text{ }\left\vert b\right\vert<1\implies\left\vert a+b\right\vert<\left\vert1+ab\right\vert $$

Nous avons deux réels $ a $ et $ b $ tels que $ \left|a\right| < 1 $ et $ \left|b\right| < 1 $, et nous devons montrer que :

\[
\left|a + b\right| < \left|1 + ab\right|.
\]

### Étape 1 : Encadrement des termes
Puisque $ \left|a\right| < 1 $, on peut écrire :
\[
-1 < a < 1.
\]
De même, comme $ \left|b\right| < 1 $, on a :
\[
-1 < b < 1.
\]

### Étape 2 : Encadrement du produit $ ab $
Comme $ a \in (-1, 1) $ et $ b \in (-1, 1) $, on peut en déduire que :
\[
-1 < ab < 1,
\]
ce qui implique que $ 1 + ab > 0 $.

### Étape 3 : Utilisation d'une inégalité connue
Il est connu que si $ \left|a\right| < 1 $ et $ \left|b\right| < 1 $, alors :
\[
\left|a + b\right| < 1.
\]
Cela se vérifie simplement par le fait que $ -1 < a < 1 $ et $ -1 < b < 1 $, donc leur somme reste inférieure à 1 en valeur absolue.

### Étape 4 : Comparaison des deux membres
Nous avons montré que $ \left|a + b\right| < 1 $ et également $ 1 + ab > 0 $. Comme $ 1 + ab $ est strictement supérieur à 1, on a donc :
\[
\left|a + b\right| < 1 < 1 + ab.
\]
Ainsi :
\[
\left|a + b\right| < \left|1 + ab\right|,
\]
ce qui conclut la démonstration.

### Conclusion
Nous avons donc montré que pour $ \left|a\right| < 1 $ et $ \left|b\right| < 1 $, il est vrai que :
\[
\left|a + b\right| < \left|1 + ab\right|.
\]

Voulez-vous plus de détails sur une étape spécifique ?

---

Voici 5 questions liées à ce sujet :
1. Comment prouver l'inégalité pour des valeurs spécifiques de $ a $ et $ b $ ?
2. Quelles sont les propriétés des valeurs absolues utilisées dans cette démonstration ?
3. Comment généraliser cette inégalité à d'autres intervalles pour $ a $ et $ b $ ?
4. Existe-t-il d'autres inégalités intéressantes impliquant des produits et des sommes similaires ?
5. Comment la géométrie du plan complexe intervient-elle dans ce type d'inégalités ?

**Astuce** : Utilisez souvent les propriétés des valeurs absolues pour simplifier les inégalités et repérer les relations entre les termes.

Soit a et b deux réels, montrer que : |a| < 1 et |b| < 1 implique |a + b| < |1 + ab|.

Explore how to prove the inequality |a + b| < |1 + ab| for real numbers a and b when both |a| and |b| are less than 1. This solution covers essential concepts in real analysis and algebra, including absolute value inequalities and the triangle inequality. Suitable for university-level mathematics students.

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