Докажи что если $$ \lim_{n\to\infty}a_{n}=+\infty\text{, }\lim_{n\to+\infty}b_{n}=B $$то $$ \lim_{n\to+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=+\infty $$

Доказательство можно провести с использованием определения предела последовательности.

Итак, у нас есть две последовательности: $ a_n $ и $ b_n $. Из условий задачи мы знаем, что:

- $ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty $, то есть для любого $ M > 0 $ найдётся такое $ N_1 \in \mathbb{N} $, что для всех $ n > N_1 $ выполняется $ a_n > M $.
- $ \lim_{n \to \infty} b_n = B $, где $ B $ — конечное число, то есть для любого $ \varepsilon > 0 $ найдётся такое $ N_2 \in \mathbb{N} $, что для всех $ n > N_2 $ выполняется $ |b_n - B| < \varepsilon $.

Нужно доказать, что $ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = +\infty $. Для этого покажем, что сумма последовательностей стремится к бесконечности.

### Доказательство

Возьмём произвольное $ M > 0 $. Нам нужно показать, что существует такое число $ N $, начиная с которого $ a_n + b_n > M $ для всех $ n > N $.

1. Поскольку $ \lim_{n \to \infty} a_n = +\infty $, то для выбранного $ M' = M - B $ (где $ B $ — предел последовательности $ b_n $) найдётся такое $ N_1 $, что для всех $ n > N_1 $ будет выполняться неравенство:
   \[
   a_n > M'.
   \]
   
2. Так как $ \lim_{n \to \infty} b_n = B $, то для любого $ \varepsilon > 0 $ существует $ N_2 $, начиная с которого $ |b_n - B| < \varepsilon $. Положим $ \varepsilon = 1 $, тогда существует $ N_2 $, что для всех $ n > N_2 $ выполняется:
   \[
   |b_n - B| < 1 \quad \text{или} \quad B - 1 < b_n < B + 1.
   \]

   Это значит, что для всех $ n > N_2 $ справедливо:
   \[
   b_n \geq B - 1.
   \]

3. Теперь найдём $ N = \max(N_1, N_2) $. Для всех $ n > N $ будет одновременно выполняться:
   \[
   a_n > M' \quad \text{и} \quad b_n \geq B - 1.
   \]
   
4. Тогда для всех $ n > N $ имеем:
   \[
   a_n + b_n > M' + (B - 1) = (M - B) + (B - 1) = M - 1.
   \]
   
5. Так как $ M $ было произвольным, можем выбрать $ M + 1 $, что доказывает:
   \[
   a_n + b_n \to +\infty \quad \text{при} \quad n \to \infty.
   \]

Таким образом, $ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = +\infty $, что и требовалось доказать.

### Вопросы для углубления:

1. Как изменилось бы доказательство, если бы $ b_n $ стремилось к нулю вместо $ B $?
2. Как влияет скорость роста последовательности $ a_n $ на сходимость суммы $ a_n + b_n $?
3. Можно ли обобщить это доказательство для случая, когда $ \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty $?
4. Как можно адаптировать доказательство для случая, когда $ b_n $ осциллирует около $ B $?
5. Какие другие теоремы о сходимости последовательностей можно использовать для сумм?

### Совет:
При работе с пределами последовательностей важно использовать точные формулировки определения предела, особенно когда пределы являются бесконечными или нулевыми.

Explore a detailed proof demonstrating that if $$ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty $$ and $$ \lim_{n\to\infty} b_n = B $$, then the sum $$ \lim_{n\to\infty} (a_n + b_n) = +\infty $$. This problem covers essential concepts in sequence limits, including infinite limits and addition rules. Ideal for students studying undergraduate mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation