Доказательство можно провести с использованием определения предела последовательности.

Итак, у нас есть две последовательности: $a_n$ и $b_n$. Из условий задачи мы знаем, что:

• $\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty$, то есть для любого $M > 0$ найдётся такое $N_1 \in \mathbb{N}$, что для всех $n > N_1$ выполняется $a_n > M$.
• $\lim_{n \to \infty} b_n = B$, где $B$ — конечное число, то есть для любого $\varepsilon > 0$ найдётся такое $N_2 \in \mathbb{N}$, что для всех $n > N_2$ выполняется $|b_n - B| < \varepsilon$.

Нужно доказать, что $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = +\infty$. Для этого покажем, что сумма последовательностей стремится к бесконечности.

Доказательство

Возьмём произвольное $M > 0$. Нам нужно показать, что существует такое число $N$, начиная с которого $a_n + b_n > M$ для всех $n > N$.

1. Поскольку $\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty$, то для выбранного $M' = M - B$ (где $B$ — предел последовательности $b_n$) найдётся такое $N_1$, что для всех $n > N_1$ будет выполняться неравенство: $a_n > M'.$

2. Так как $\lim_{n \to \infty} b_n = B$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует $N_2$, начиная с которого $|b_n - B| < \varepsilon$. Положим $\varepsilon = 1$, тогда существует $N_2$, что для всех $n > N_2$ выполняется: $|b_n - B| < 1 \quad \text{или} \quad B - 1 < b_n < B + 1.$

   Это значит, что для всех $n > N_2$ справедливо: $b_n \geq B - 1.$

3. Теперь найдём $N = \max(N_1, N_2)$. Для всех $n > N$ будет одновременно выполняться: $a_n > M' \quad \text{и} \quad b_n \geq B - 1.$

4. Тогда для всех $n > N$ имеем: $a_n + b_n > M' + (B - 1) = (M - B) + (B - 1) = M - 1.$

5. Так как $M$ было произвольным, можем выбрать $M + 1$, что доказывает: $a_n + b_n \to +\infty \quad \text{при} \quad n \to \infty.$

Таким образом, $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = +\infty$, что и требовалось доказать.

Вопросы для углубления:

1. Как изменилось бы доказательство, если бы $b_n$ стремилось к нулю вместо $B$?
2. Как влияет скорость роста последовательности $a_n$ на сходимость суммы $a_n + b_n$?
3. Можно ли обобщить это доказательство для случая, когда $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$?
4. Как можно адаптировать доказательство для случая, когда $b_n$ осциллирует около $B$?
5. Какие другие теоремы о сходимости последовательностей можно использовать для сумм?

Совет:

При работе с пределами последовательностей важно использовать точные формулировки определения предела, особенно когда пределы являются бесконечными или нулевыми.