Давайте проверим ваше доказательство. На изображении представлено следующее:

Условие:

• $\lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty$, $\lim_{n \to +\infty} b_n = B \in \mathbb{R}$ $\Rightarrow$

1. $\lim_{n \to +\infty} (a_n \pm b_n) = +\infty$

Доказательство:

1. Вы утверждаете, что: $\forall E > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N}$, что $\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0$ выполняется $a_n > E$.

2. Далее для $\varepsilon > 0$ также утверждается: $\exists n_1 \in \mathbb{N}$, что $\forall n \in \mathbb{N}, n > n_1$ выполняется $|b_n - B| < \varepsilon$, а значит $b_n > B - \varepsilon$.

3. Далее вы выбрали $\varepsilon = 1$, и определили $E = M - B + 1$, где $M > |B| + 1$.

4. Используете $\max \{n_0, n_1\}$, чтобы доказать, что $a_n + b_n > M$ для всех $n$, больших $n_0$, что в итоге приводит к $\lim_{n \to +\infty} (a_n + b_n) = +\infty$.

Анализ:

• Ваше доказательство опирается на точное определение предела и использует стратегию разбиения доказательства на два случая: $a_n \to +\infty$ и $b_n \to B$. Для $a_n \to +\infty$ выбран подход через произвольное большое значение $E$, что стандартно для таких доказательств. Далее, правильным образом выбирается $\varepsilon$ для контроля $b_n$.
• Шаги по выбору $n_0$ и $n_1$ выглядят корректно, и переход к совместному анализу для $\max\{n_0, n_1\}$ позволяет строго доказать стремление суммы $a_n + b_n$ к $+\infty$.

Заключение:

Ваше доказательство выглядит верным и соответствует строгим математическим стандартам для доказательства предела суммы последовательностей. Оно аккуратно и логически связано, особенно при выборе параметров $E$, $\varepsilon$ и контроле значений для $n_0$ и $n_1$.

Если у вас есть какие-то вопросы или вам нужны уточнения, дайте знать!

Вот несколько связанных вопросов для дальнейшего обсуждения:

1. Можете ли вы объяснить, почему выбор $\varepsilon = 1$ является оптимальным в этом случае?
2. Как изменилось бы доказательство, если бы $b_n$ стремился не к числу, а к $+\infty$?
3. Как бы вы действовали в случае, если бы $b_n \to -\infty$?
4. Есть ли альтернативные подходы к доказательству этого утверждения?
5. Можете ли вы привести примеры последовательностей $a_n$ и $b_n$, для которых это доказательство выполняется?

Совет: Всегда проверяйте корректность выбора $\varepsilon$ в зависимости от контекста задачи, особенно при доказательствах, связанных с пределами и асимптотическим поведением.