Чтобы доказать утверждение, что если $a_n \le b_n$ для всех $n$, то тогда $\lim_{n\to\infty} a_n \le \lim_{n\to\infty} b_n$, мы будем опираться на основные свойства пределов последовательностей.

Доказательство:

Пусть последовательности $a_n$ и $b_n$ сходятся к пределам $A$ и $B$ соответственно, то есть $\lim_{n\to\infty} a_n = A \quad \text{и} \quad \lim_{n\to\infty} b_n = B.$

Исходное условие утверждает, что для