برای اثبات این جمله، که اگر تابع $f$ یک به یک باشد، آنگاه $f(\bigcap A) = \bigcap f(A)$، ابتدا باید مفهوم‌های موجود را بررسی کنیم:

مفاهیم:

• $f: X \to Y$ یک تابع است.
• $A$ مجموعه‌ای از زیرمجموعه‌ها از $X$ است، به این معنا که $A = \{A_1, A_2, \dots, A_n\}$ است.
• $\bigcap A$ به معنای اشتراک تمامی مجموعه‌ها در $A$ است.
• $f(A)$ به معنای تصویر مجموعه $A$ تحت تابع $f$ است که شامل تمام عناصری است که می‌توانند از تابع $f$ حاصل شوند.

قدم‌های اثبات:

فرض می‌کنیم $f$ یک تابع یک به یک (bijective) باشد و می‌خواهیم اثبات کنیم که:

$f\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) = \bigcap_{i \in I} f(A_i)$

1. اثبات $\subseteq$ (نشان دادن اینکه $f(\bigcap A) \subseteq \bigcap f(A)$):

• فرض کنید $y \in f\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right)$.
• این به این معناست که برای یک عنصر $x \in \bigcap_{i \in I} A_i$، داریم $y = f(x)$.
• از آنجا که $x \in \bigcap_{i \in I} A_i$، بنابراین $x \in A_i$ برای همه $i \in I$.
• چون $f$ تابع است، برای هر $i \in I$، داریم $f(x) \in f(A_i)$.
• بنابراین، $y = f(x) \in f(A_i)$ برای همه $i \in I$.
• نتیجه می‌گیریم که $y \in \bigcap_{i \in I} f(A_i)$.

پس $f\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) \subseteq \bigcap_{i \in I} f(A_i)$.

2. اثبات $\supseteq$ (نشان دادن اینکه $\bigcap f(A) \subseteq f(\bigcap A)$):

• فرض کنید $y \in \bigcap_{i \in I} f(A_i)$.
• این به این معناست که برای هر $i \in I$، داریم $y \in f(A_i)$.
• بنابراین، برای هر $i \in I$، یک $x_i \in A_i$ وجود دارد که $f(x_i) = y$.
• حالا، چون $f$ یک تابع یک به یک است (یک به یک یعنی اینکه اگر $f(x) = f(y)$ آنگاه $x = y$)، و چون $y \in f(A_i)$ برای همه $i$، نتیجه می‌گیریم که $x_i$ باید برابر باشد برای همه $i$. بنابراین، $x_1 = x_2 = \dots = x_n = x$ برای یک عنصر $x \in \bigcap_{i \in I} A_i$.
• پس، داریم $f(x) = y$ که یعنی $y \in f(\bigcap_{i \in I} A_i)$.

پس $\bigcap_{i \in I} f(A_i) \subseteq f\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right)$.

نتیجه‌گیری:

چون هم $f(\bigcap_{i \in I} A_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} f(A_i)$ و هم $\bigcap_{i \in I} f(A_i) \subseteq f(\bigcap_{i \in I} A_i)$، نتیجه می‌گیریم که:

$f\left( \bigcap_{i \in I} A_i \right) = \bigcap_{i \in I} f(A_i)$

خلاصه:

اگر تابع $f$ یک به یک باشد، آنگاه تصویر اشتراک مجموعه‌ها برابر با اشتراک تصاویر مجموعه‌ها است.

---

آیا به توضیحات بیشتری نیاز دارید؟ سوالی دارید؟

سوالات مرتبط:

1. تابع یک به یک چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟
2. چه تفاوت‌هایی بین تابع یک به یک و تابع پوشا وجود دارد؟
3. تابع معکوس چیست و آیا هر تابع یک به یک معکوس دارد؟
4. چگونه می‌توان اثبات کرد که تابع یک به یک بر روی یک مجموعه عمل می‌کند؟
5. اشتراک مجموعه‌ها و اتحاد آنها در نظریه مجموعه‌ها چگونه تعریف می‌شود؟

نکته: همیشه برای اثبات هم‌ارزی‌ها از اصول بنیادی مجموعه‌ها مانند «اگر و فقط اگر» و ویژگی‌های تابع استفاده کنید.