L'expression du produit que vous souhaitez étudier peut être écrite de la manière suivante :

\[
P(t) = \prod_{k=0}^{n-1} e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{t}{T_k}}
\]

Cependant, en fonction de votre description, il semble que vous souhaitiez également inclure un terme initial différent pour \( k = n-1 \) (c'est-à-dire \( e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-1}}} \)).

Si cela est exact, alors l'expression complète serait :

\[
P(t) = e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-1}}} \times \prod_{k=0}^{n-2} e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{t}{T_k}}
\]

Ici :

- Le premier terme est \( e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-1}}} \), qui dépend de \( T_n \) et \( T_{n-1} \).
- Le produit s'étend ensuite pour les termes de \( k = 0 \) jusqu'à \( k = n-2 \), chacun ayant la forme \( e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{t}{T_k}} \).

### Pour résumer :

\[
P(t) = e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-1}}} \times e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{t}{T_{n-2}}} \times e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{t}{T_{n-3}}} \times \cdots \times e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{t}{T_0}}
\]

Pour étudier ce produit lorsque \( t = T_n \), il suffit de substituer \( t \) par \( T_n \) dans chaque terme, donnant :

\[
P(T_n) = e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-1}}} \times e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-2}}} \times e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_{n-3}}} \times \cdots \times e^{i \cdot 2\pi \cdot \frac{T_n}{T_0}}
\]

Avez-vous besoin d'autres informations ou souhaitez-vous explorer un autre aspect de cette expression ?

---

1. Comment simplifier \( P(T_n) \) pour des valeurs spécifiques de \( T_k \) ?
2. Quelle est l'importance de la phase totale dans cette expression ?
3. Comment visualiser ce produit sur le cercle unité dans le plan complexe ?
4. Que se passe-t-il si \( T_k \) suit une progression géométrique ?
5. Comment généraliser cette expression pour d'autres séries de \( T_k \) ?

**Tip** : Utilisez des outils numériques pour tester le produit \( P(T_n) \) avec différentes valeurs de \( T_k \) et observez le comportement dans le plan complexe.

Explore the expression and properties of the product of exponential functions with complex arguments. Learn how to interpret and simplify this mathematical expression. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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