Math Problem Statement

サッカー部11人、水泳部10人から3人をリレー競走の選手に選ぶ。組み合わせも走る順番もランダムに選んだ時、同じ部の部員に直接バトンを渡さないようなオーダーになる確率は何%か。小数点以下第一位を四捨五入して整数のみで答えよ。

Solution

問題の状況では、サッカー部の11人と水泳部の10人から3人を選び、そのうち2人が同じ部の人で連続して走らないような順序を求めています。この確率を計算する手順は以下のようになります。

1. 総数の計算

まず、サッカー部員と水泳部員を合わせて 11+10=2111 + 10 = 21 人います。この21人の中から3人を選んで順番を決める組み合わせの総数を考えます。これには、21人の中から3人を選んで並べるという順列の問題になります。したがって総数は次のように計算されます。

総数=21×20×19=7980\text{総数} = 21 \times 20 \times 19 = 7980

2. 同じ部の部員が連続する場合の数

次に、同じ部の部員が連続して走る場合を考えます。サッカー部の中から2人を選んで、その2人が連続して走る場合、水泳部員を1人選び、順序を決める組み合わせを求めます。

(a) サッカー部員が連続する場合

サッカー部の11人から2人を選び、さらに水泳部の10人から1人を選ぶことになります。選ばれたサッカー部の2人を1つのグループと考えれば、3人の並べ方を決める組み合わせは、次のようになります。

  • サッカー部から2人を選ぶ組み合わせ (112)=11×102=55\binom{11}{2} = \frac{11 \times 10}{2} = 55
  • 水泳部から1人を選ぶ組み合わせ (101)=10\binom{10}{1} = 10
  • グループの並べ方は 2!=22! = 2 通り
  • 全体の並べ方は 3!=63! = 6

したがって、サッカー部が連続する場合の数は次のようになります。

55×10×2=110055 \times 10 \times 2 = 1100

(b) 水泳部員が連続する場合

水泳部員2人が連続する場合も同様に計算します。

  • 水泳部から2人を選ぶ組み合わせ (102)=10×92=45\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45
  • サッカー部から1人を選ぶ組み合わせ (111)=11\binom{11}{1} = 11
  • グループの並べ方は 2!=22! = 2
  • 全体の並べ方は 3!=63! = 6

したがって、水泳部が連続する場合の数も次のようになります。

45×11×2=99045 \times 11 \times 2 = 990

3. 同じ部が連続する場合の合計

サッカー部または水泳部が連続する場合の数の合計は次のようになります。

1100+990=20901100 + 990 = 2090

4. 条件を満たす場合の数

したがって、同じ部が連続しない場合の数は、総数から同じ部が連続する場合の数を引いたものになります。

79802090=58907980 - 2090 = 5890

5. 求める確率

最後に、求める確率は次のように計算できます。

589079800.7381\frac{5890}{7980} \approx 0.7381

これをパーセンテージに直し、小数点第1位で四捨五入すると、

73.8%74%73.8\% \rightarrow 74\%

したがって、求める確率は 74% です。


何か質問がありますか?次に解くべき関連問題として、以下の質問があります。

  1. サッカー部11人と水泳部10人の中から2人をペアにして、1人がサッカー部、1人が水泳部になる組み合わせを求めなさい。
  2. サッカー部11人と水泳部10人の中から2人を選ぶとき、サッカー部が1人しか含まれない組み合わせは何通りか。
  3. サッカー部員のみでリレー競走をする場合、走る順序を決める方法は何通りか。
  4. 3人を選んだとき、選ばれた3人全員がサッカー部員になる確率は何%か。
  5. 3人を選んだとき、選ばれた3人全員が水泳部員になる確率は何%か。

Tip: 確率問題では、まず「全体の数」を理解し、次に「条件に当てはまる数」をしっかり区別して計算することが重要です。

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Probability

Formulas

Number of permutations of 3 people: nPr = n × (n - 1) × (n - 2)
Number of combinations for selecting members from a group: nCr = n! / [r! × (n - r)!]
Probability formula: P(A) = favorable outcomes / total outcomes

Theorems

Basic Counting Principle
Permutation and Combination Theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12