Math Problem Statement
サッカー部11人、水泳部10人から3人をリレー競走の選手に選ぶ。組み合わせも走る順番もランダムに選んだ時、同じ部の部員に直接バトンを渡さないようなオーダーになる確率は何%か。小数点以下第一位を四捨五入して整数のみで答えよ。
Solution
問題の状況では、サッカー部の11人と水泳部の10人から3人を選び、そのうち2人が同じ部の人で連続して走らないような順序を求めています。この確率を計算する手順は以下のようになります。
1. 総数の計算
まず、サッカー部員と水泳部員を合わせて 人います。この21人の中から3人を選んで順番を決める組み合わせの総数を考えます。これには、21人の中から3人を選んで並べるという順列の問題になります。したがって総数は次のように計算されます。
2. 同じ部の部員が連続する場合の数
次に、同じ部の部員が連続して走る場合を考えます。サッカー部の中から2人を選んで、その2人が連続して走る場合、水泳部員を1人選び、順序を決める組み合わせを求めます。
(a) サッカー部員が連続する場合
サッカー部の11人から2人を選び、さらに水泳部の10人から1人を選ぶことになります。選ばれたサッカー部の2人を1つのグループと考えれば、3人の並べ方を決める組み合わせは、次のようになります。
- サッカー部から2人を選ぶ組み合わせ
- 水泳部から1人を選ぶ組み合わせ
- グループの並べ方は 通り
- 全体の並べ方は
したがって、サッカー部が連続する場合の数は次のようになります。
(b) 水泳部員が連続する場合
水泳部員2人が連続する場合も同様に計算します。
- 水泳部から2人を選ぶ組み合わせ
- サッカー部から1人を選ぶ組み合わせ
- グループの並べ方は
- 全体の並べ方は
したがって、水泳部が連続する場合の数も次のようになります。
3. 同じ部が連続する場合の合計
サッカー部または水泳部が連続する場合の数の合計は次のようになります。
4. 条件を満たす場合の数
したがって、同じ部が連続しない場合の数は、総数から同じ部が連続する場合の数を引いたものになります。
5. 求める確率
最後に、求める確率は次のように計算できます。
これをパーセンテージに直し、小数点第1位で四捨五入すると、
したがって、求める確率は 74% です。
何か質問がありますか?次に解くべき関連問題として、以下の質問があります。
- サッカー部11人と水泳部10人の中から2人をペアにして、1人がサッカー部、1人が水泳部になる組み合わせを求めなさい。
- サッカー部11人と水泳部10人の中から2人を選ぶとき、サッカー部が1人しか含まれない組み合わせは何通りか。
- サッカー部員のみでリレー競走をする場合、走る順序を決める方法は何通りか。
- 3人を選んだとき、選ばれた3人全員がサッカー部員になる確率は何%か。
- 3人を選んだとき、選ばれた3人全員が水泳部員になる確率は何%か。
Tip: 確率問題では、まず「全体の数」を理解し、次に「条件に当てはまる数」をしっかり区別して計算することが重要です。
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Combinatorics
Probability
Formulas
Number of permutations of 3 people: nPr = n × (n - 1) × (n - 2)
Number of combinations for selecting members from a group: nCr = n! / [r! × (n - r)!]
Probability formula: P(A) = favorable outcomes / total outcomes
Theorems
Basic Counting Principle
Permutation and Combination Theorem
Suitable Grade Level
Grades 10-12
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