Uma urnas possui 4 bolas brancas, 3 azuis e 3 vermelha. Retirando 3  sucessivamente e sem reposição.  Calcule a probabilidade das cores saírem diferentes. Calcule a chance da terceira ser branca se as duas primeiras tem cores iguais

Vamos resolver os problemas apresentados de forma separada.

### Problema 1: Probabilidade das cores saírem diferentes

Para que as três bolas retiradas sucessivamente tenham cores diferentes, precisamos calcular o número de combinações possíveis e dividir pelo total de combinações possíveis ao retirar 3 bolas de 10.

**Total de bolas na urna:**
- Brancas: 4
- Azuis: 3
- Vermelhas: 3

**Total de bolas:** \( 4 + 3 + 3 = 10 \)

**Total de combinações ao retirar 3 bolas de 10:**
\[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120 \]

**Combinando 1 bola de cada cor:**
Para calcular o número de combinações em que as bolas são de cores diferentes, escolhemos 1 bola branca, 1 azul e 1 vermelha.
\[ \binom{4}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{3}{1} = 4 \cdot 3 \cdot 3 = 36 \]

**Probabilidade das bolas terem cores diferentes:**
\[ P(\text{cores diferentes}) = \frac{36}{120} = \frac{3}{10} = 0.3 \]

### Problema 2: Probabilidade da terceira bola ser branca se as duas primeiras têm cores iguais

Para calcular essa probabilidade, primeiro precisamos considerar as possíveis combinações em que as duas primeiras bolas são da mesma cor. Depois, calculamos a probabilidade de a terceira bola ser branca.

**Total de combinações para duas bolas da mesma cor e uma terceira bola:**

1. **Duas bolas brancas e uma outra bola:**
\[ \binom{4}{2} \cdot \binom{6}{1} = \frac{4!}{2!2!} \cdot \binom{6}{1} = 6 \cdot 6 = 36 \]

2. **Duas bolas azuis e uma outra bola:**
\[ \binom{3}{2} \cdot \binom{7}{1} = \frac{3!}{2!1!} \cdot \binom{7}{1} = 3 \cdot 7 = 21 \]

3. **Duas bolas vermelhas e uma outra bola:**
\[ \binom{3}{2} \cdot \binom{7}{1} = \frac{3!}{2!1!} \cdot \binom{7}{1} = 3 \cdot 7 = 21 \]

**Total de combinações com as duas primeiras bolas da mesma cor:**
\[ 36 + 21 + 21 = 78 \]

**Agora, para cada um desses casos, encontramos a probabilidade de a terceira bola ser branca.**

1. **Caso das duas primeiras bolas brancas:**
\[ \text{Impossível, pois já teríamos retirado duas das quatro bolas brancas.} \]

2. **Caso das duas primeiras bolas azuis:**
\[ P(\text{terceira branca}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

3. **Caso das duas primeiras bolas vermelhas:**
\[ P(\text{terceira branca}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Então, combinando todas as situações possíveis e considerando a probabilidade de cada uma:

**Probabilidade final:**
\[ P(\text{terceira branca | duas primeiras iguais}) = \frac{21}{78} \cdot \frac{1}{2} + \frac{21}{78} \cdot \frac{1}{2} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26} \approx 0.269 \]

### Resumo

1. **Probabilidade das três bolas serem de cores diferentes:**
\[ P(\text{cores diferentes}) = 0.3 \]

2. **Probabilidade da terceira bola ser branca, dado que as duas primeiras têm cores iguais:**
\[ P(\text{terceira branca | duas primeiras iguais}) \approx 0.269 \]

Se precisar de mais detalhes ou tiver outras perguntas, por favor, avise. Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Qual é a fórmula para calcular combinações?
2. Como calcular a probabilidade de eventos dependentes?
3. O que é o princípio fundamental da contagem?
4. Como se aplica o conceito de probabilidade condicional?
5. Qual a diferença entre probabilidade conjunta e marginal?
6. Como calcular a probabilidade de eventos mutuamente exclusivos?
7. Como simplificar frações em cálculos de probabilidade?
8. O que são eventos independentes e como se calculam suas probabilidades?

**Dica:** Ao resolver problemas de probabilidade, desenhar diagramas ou usar tabelas pode ajudar a visualizar e organizar as informações.

Calculate the probability of drawing three balls of different colors from an urn containing 4 white, 3 blue, and 3 red balls, without replacement. Also, find the probability that the third ball is white given the first two are of the same color. Learn the combinatorial methods and formulas used in probability calculations.

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