Solução:

A urna contém um total de $3 + 4 + 5 = 12$ bolas, divididas por cor:

• Pretas: 3
• Vermelhas: 4
• Brancas: 5

Como as bolas são retiradas sem reposição, utilizamos probabilidade condicional e o conceito de combinações para resolver o problema.

Fórmula para calcular probabilidades:

A probabilidade de um evento $E$ ocorrer é:

$P(E) = \frac{\text{Número de casos favoráveis}}{\text{Número total de casos possíveis}}$

O número total de casos possíveis ao retirar 3 bolas de 12 é dado por:

$\binom{12}{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220$

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a) Três bolas pretas

O número de maneiras de retirar 3 bolas pretas de um total de 3 pretas é:

$\binom{3}{3} = 1$

Logo, a probabilidade é:

$P(\text{3 pretas}) = \frac{\binom{3}{3}}{\binom{12}{3}} = \frac{1}{220}$

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b) Duas bolas brancas e uma bola vermelha

Número de maneiras de escolher 2 bolas brancas (de um total de 5 brancas):

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10$

Número de maneiras de escolher 1 bola vermelha (de um total de 4 vermelhas):

$\binom{4}{1} = 4$

Número total de casos favoráveis:

$10 \cdot 4 = 40$

Logo, a probabilidade é:

$P(\text{2 brancas e 1 vermelha}) = \frac{40}{220} = \frac{2}{11}$

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c) Três bolas de cores distintas

Para que as três bolas sejam de cores distintas, precisamos de 1 preta, 1 vermelha e 1 branca. O número de maneiras de escolher 1 bola de cada cor é:

$\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$

Logo, a probabilidade é:

$P(\text{3 cores distintas}) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11}$

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d) Três bolas de mesma cor

Para que todas as bolas sejam da mesma cor, todas devem ser pretas, vermelhas ou brancas. Já calculamos as combinações para 3 pretas ($1$).

Agora, para 3 vermelhas (de 4):

$\binom{4}{3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = 4$

E para 3 brancas (de 5):

$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10$

Número total de casos favoráveis:

$1 + 4 + 10 = 15$

Logo, a probabilidade é:

$P(\text{3 bolas da mesma cor}) = \frac{15}{220} = \frac{3}{44}$

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Resumo das respostas:

a) $P(\text{3 pretas}) = \frac{1}{220}$

b) $P(\text{2 brancas e 1 vermelha}) = \frac{2}{11}$

c) $P(\text{3 cores distintas}) = \frac{3}{11}$

d) $P(\text{3 bolas da mesma cor}) = \frac{3}{44}$

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Posso explicar algum passo com mais detalhes? 😊

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5 Perguntas Relacionadas:

1. Como calcular a probabilidade se as bolas fossem retiradas com reposição?
2. Qual seria a probabilidade de retirar pelo menos uma bola preta?
3. E se a ordem de retirada das bolas importasse, como calcular as probabilidades?
4. Como usar o teorema de Bayes para verificar eventos condicionalmente dependentes neste contexto?
5. Qual seria a probabilidade de retirar exatamente duas bolas vermelhas?

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Dica:

Ao lidar com probabilidades envolvendo combinações, use uma abordagem sistemática para identificar os casos favoráveis e possíveis, verificando sempre a condição do problema (com ou sem reposição).