要证明平行线同位角相等，我们可以使用几何学的基本公理和定理。下面是详细的证明过程：

### 证明：

设有两条平行线 \( l_1 \) 和 \( l_2 \)，并且被一条横截线 \( t \) 所截，如下图所示：

```
l_1: -----------------------------
            a
           / 
          /  
t: ------/-------------------------
        /  
       /   
      /     
     / 
l_2: -----------------------------
```

在图中，角 \( a \) 和角 \( b \) 是同位角。我们需要证明 \( \angle a = \angle b \)。

**步骤1：识别内错角**

我们知道，平行线被横截线所截时，内错角相等。这是一个基本几何定理。

内错角如下：
```
l_1: -----------------------------
          c
           / 
          /  
t: ------/-------------------------
        /  
       /   
      /    
     / 
l_2: -----------------------------
            d
```

根据内错角相等定理，可以得出：
\[ \angle c = \angle d \]

**步骤2：应用直线角性质**

我们知道，直线角的性质是相邻的两个角相加等于 \( 180^\circ \)。

设在横截线 \( t \) 上的角如图所示：
```
l_1: -----------------------------
            a       b
           /       /
          /       /
t: ------/-------/-----------------
        /       /
       /       /
      /       /
     /       /
l_2: -----------------------------
            c       d
```

根据直线角的性质，可以得出：
\[ \angle a + \angle c = 180^\circ \]
\[ \angle b + \angle d = 180^\circ \]

**步骤3：利用平行线内错角相等**

因为 \( \angle c = \angle d \)，所以我们有：
\[ \angle a + \angle c = \angle b + \angle d \]

因为 \( \angle c = \angle d \)，所以：
\[ \angle a + \angle d = \angle b + \angle d \]

从上式可以消去 \( \angle d \)，得到：
\[ \angle a = \angle b \]

因此，我们证明了平行线同位角相等。

### 结论

通过以上步骤，我们证明了平行线被一条横截线所截时，同位角是相等的。

是否需要更多详细的解释或有任何问题？

可以选择以下几个问题继续学习：
1. 如何证明垂直角相等？
2. 平行线的性质有哪些？
3. 如何利用平行线性质解几何题？
4. 什么是内错角？
5. 如何定义同位角？

**小贴士**：在几何证明中，熟悉和应用基本定理和性质是解决问题的关键。

Learn how to prove that corresponding angles are equal in parallel lines intersected by a transversal. This detailed proof uses fundamental geometry axioms and theorems. Suitable for students in Grades 7-9.

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