a(2; 1; 0) b(1; 0; 1) c(4; 2; 1) d(3; 1; 3) Лучи OA; OB; OC являются ребрами трехгранного угла T. Лежит ли

точка D внутри T, вне T, на одной из границ T (на какой)

ПОЛНОСТЬЮ РЕШИ

Чтобы определить, лежит ли точка \( D \) внутри трехгранного угла \( T \), вне его, или на одной из его граней, можно применить метод векторного анализа. Рассмотрим лучи \( OA \), \( OB \), и \( OC \) как грани угла \( T \). Точка \( D \) будет лежать внутри или на границе угла \( T \), если она может быть выражена как положительная линейная комбинация этих векторов. Ниже — шаги для анализа:

### 1. Запишем векторы
Пусть точка \( O \) находится в начале координат, т.е., \( O = (0; 0; 0) \).

Тогда векторы:
- \( \overrightarrow{OA} = (2, 1, 0) \),
- \( \overrightarrow{OB} = (1, 0, 1) \),
- \( \overrightarrow{OC} = (4, 2, 1) \),
- \( \overrightarrow{OD} = (3, 1, 3) \).

### 2. Составим систему линейных уравнений
Если \( \overrightarrow{OD} \) можно выразить через \( \overrightarrow{OA} \), \( \overrightarrow{OB} \), и \( \overrightarrow{OC} \), то:
\[
\overrightarrow{OD} = x \cdot \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{OB} + z \cdot \overrightarrow{OC}
\]
где \( x \), \( y \), \( z \) — коэффициенты.

В координатной форме это выглядит как система:
\[
3 = 2x + y + 4z
\]
\[
1 = x + 2y + 2z
\]
\[
3 = z
\]

### 3. Решим систему
Из третьего уравнения \( z = 3 \).

Подставим \( z = 3 \) в первые два уравнения:
1. \( 3 = 2x + y + 4 \cdot 3 \)
   \[
   3 = 2x + y + 12 \Rightarrow 2x + y = -9
   \]

2. \( 1 = x + 2y + 2 \cdot 3 \)
   \[
   1 = x + 2y + 6 \Rightarrow x + 2y = -5
   \]

Теперь решим уравнения:
\[
2x + y = -9
\]
\[
x + 2y = -5
\]

Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого:
\[
2x + y - 2(x + 2y) = -9 - (-10) \Rightarrow -3y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}
\]
\[
x + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -5 \Rightarrow x - \frac{2}{3} = -5 \Rightarrow x = -\frac{13}{3}
\]

Таким образом, \( x = -\frac{13}{3} \), \( y = -\frac{1}{3} \), и \( z = 3 \).

### 4. Проверим знак коэффициентов
Все три коэффициента \( x \), \( y \), и \( z \) должны быть неотрицательными, чтобы точка \( D \) лежала внутри угла \( T \) или на его границе. Однако, поскольку \( x \) и \( y \) отрицательны, точка \( D \) не может лежать внутри угла \( T \) или на его гранях.

### Ответ:
Точка \( D \) лежит **вне трехгранного угла** \( T \).

---

Есть ли вопросы или хотите подробностей по решению? 

**5 Вопросов для углубления:**
1. Как понять, что точка лежит на границе трехгранного угла?
2. Почему коэффициенты в линейной комбинации должны быть неотрицательными?
3. Могли бы мы использовать скалярное произведение для анализа?
4. Какой физический смысл имеет трехгранный угол в пространстве?
5. Можно ли обобщить решение для произвольного числа границ?

**Совет:** При анализе расположения точек в многомерных областях всегда проверяйте, возможна ли положительная линейная комбинация базисных векторов.

a(2; 1; 0) b(1; 0; 1) c(4; 2; 1) d(3; 1; 3) Лучи OA; OB; OC являются ребрами трехгранного угла T. Лежит ли точка D внутри T, вне T, на одной из границ T (на какой)

Analyze if point D (3,1,3) lies inside, outside, or on the boundary of a 3D angle defined by vectors OA, OB, and OC with given coordinates. The solution uses vector analysis and linear combinations to determine D's position. Ideal for students in Grades 11-12 studying vector geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation