Чтобы определить, лежит ли точка $D$ внутри трехгранного угла $T$, вне его, или на одной из его граней, можно применить метод векторного анализа. Рассмотрим лучи $OA$, $OB$, и $OC$ как грани угла $T$. Точка $D$ будет лежать внутри или на границе угла $T$, если она может быть выражена как положительная линейная комбинация этих векторов. Ниже — шаги для анализа:

1. Запишем векторы

Пусть точка $O$ находится в начале координат, т.е., $O = (0; 0; 0)$.

Тогда векторы:

• $\overrightarrow{OA} = (2, 1, 0)$,
• $\overrightarrow{OB} = (1, 0, 1)$,
• $\overrightarrow{OC} = (4, 2, 1)$,
• $\overrightarrow{OD} = (3, 1, 3)$.

2. Составим систему линейных уравнений

Если $\overrightarrow{OD}$ можно выразить через $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, и $\overrightarrow{OC}$, то: $\overrightarrow{OD} = x \cdot \overrightarrow{OA} + y \cdot \overrightarrow{OB} + z \cdot \overrightarrow{OC}$ где $x$, $y$, $z$ — коэффициенты.

В координатной форме это выглядит как система: $3 = 2x + y + 4z$ $1 = x + 2y + 2z$ $3 = z$

3. Решим систему

Из третьего уравнения $z = 3$.

Подставим $z = 3$ в первые два уравнения:

1. $3 = 2x + y + 4 \cdot 3$ $3 = 2x + y + 12 \Rightarrow 2x + y = -9$

2. $1 = x + 2y + 2 \cdot 3$ $1 = x + 2y + 6 \Rightarrow x + 2y = -5$

Теперь решим уравнения: $2x + y = -9$ $x + 2y = -5$

Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из первого: $2x + y - 2(x + 2y) = -9 - (-10) \Rightarrow -3y = 1 \Rightarrow y = -\frac{1}{3}$ $x + 2\left(-\frac{1}{3}\right) = -5 \Rightarrow x - \frac{2}{3} = -5 \Rightarrow x = -\frac{13}{3}$

Таким образом, $x = -\frac{13}{3}$, $y = -\frac{1}{3}$, и $z = 3$.

4. Проверим знак коэффициентов

Все три коэффициента $x$, $y$, и $z$ должны быть неотрицательными, чтобы точка $D$ лежала внутри угла $T$ или на его границе. Однако, поскольку $x$ и $y$ отрицательны, точка $D$ не может лежать внутри угла $T$ или на его гранях.

Ответ:

Точка $D$ лежит вне трехгранного угла $T$.

---

Есть ли вопросы или хотите подробностей по решению?

5 Вопросов для углубления:

1. Как понять, что точка лежит на границе трехгранного угла?
2. Почему коэффициенты в линейной комбинации должны быть неотрицательными?
3. Могли бы мы использовать скалярное произведение для анализа?
4. Какой физический смысл имеет трехгранный угол в пространстве?
5. Можно ли обобщить решение для произвольного числа границ?

Совет: При анализе расположения точек в многомерных областях всегда проверяйте, возможна ли положительная линейная комбинация базисных векторов.