Чтобы определить, лежит ли точка D внутри трёхгранного угла T, нам необходимо вычислить положение точки D относительно плоскостей, образованных лучами OA, OB и OC.

Массив координат:

• A = (2, 1, 0)
• B = (1, 0, 1)
• C = (4, 2, 1)
• D = (3, 1, 3)
• O = (0, 0, 0)

1. Вычисляем векторы OA, OB и OC:

• OA = A - O = (2, 1, 0)
• OB = B - O = (1, 0, 1)
• OC = C - O = (4, 2, 1)

2. Вычисляем нормали к плоскостям: Для этого используем векторное произведение, чтобы найти нормали:

• Нормаль к плоскости OAB:

  ( \text{OA} \times \text{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\hat{i} - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1)\hat{j} + (2 \cdot 0 - 1 \cdot 1)\hat{k} )

  ( = (1)\hat{i} - (2)\hat{j} - (1)\hat{k} = (1, -2, -1) )

• Нормаль к плоскости OAC:

  ( \text{OA} \times \text{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 1 & 0 \ 4 & 2 & 1 \ \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2)\hat{i} - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 4)\hat{j} + (2 \cdot 2 - 1 \cdot 4)\hat{k} )

  ( = (1)\hat{i} - (2)\hat{j} + (0)\hat{k} = (1, -2, 0) )

• Нормаль к плоскости OBC:

  ( \text{OB} \times \text{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 0 & 1 \ 4 & 2 & 1 \ \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 2)\hat{i} - (1 \cdot 1 - 4 \cdot 1)\hat{j} + (1 \cdot 2 - 0 \cdot 4)\hat{k} )

  ( = (-2)\hat{i} - (-3)\hat{j} + (2)\hat{k} = (-2, 3, 2) )

3. Проверяем положение точки D относительно плоскостей: Теперь подставим координаты точки D в уравнения плоскостей, используя нормали.

• Уравнения плоскостей можно получить, используя нормали и точку O:

  Для плоскости OAB: ( (1, -2, -1) \cdot (x, y, z) = 0 )

  Для D = (3, 1, 3): ( 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 = 3 - 2 - 3 = -2 < 0 ) (D находится ниже плоскости OAB)

• Для плоскости OAC: ( (1, -2, 0) \cdot (x, y, z) = 0 )

  Проверяем D: ( 1 \cdot 3 - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 = 3 - 2 + 0 = 1 > 0 ) (D находится выше плоскости OAC)

• Для плоскости OBC: ( (-2, 3, 2) \cdot (x, y, z) = 0 )

  Проверяем D: ( -2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = -6 + 3 + 6 = 3 > 0 ) (D находится выше плоскости OBC)

4. Результат: Теперь проанализируем результаты:

• D ниже плоскости OAB (отрицательное значение),
• D выше плоскостей OAC и OBC (положительные значения).

Это означает, что точка D не может находиться внутри трёхгранного угла T, так как она находится ниже одной из его границ.

Ответ: Точка D находится вне трёхгранного угла T.