Для нахождения линейной комбинации векторов, определим базовые векторы, которые можно построить из данных точек. Пусть векторы $\mathbf{AB}$, $\mathbf{AC}$, и $\mathbf{AD}$ — это векторы, которые можно выразить как линейную комбинацию.

1. Найдём векторы:

Векторы выражаются как разности координат соответствующих точек:

$\mathbf{AB} = B - A = (4 - (-2), -1 - 0, 3 - 1) = (6, -1, 2)$

$\mathbf{AC} = C - A = (-3 - (-2), 2 - 0, 1 - 1) = (-1, 2, 0)$

$\mathbf{AD} = D - A = (4 - (-2), 1 - 0, 1 - 1) = (6, 1, 0)$

2. Проверим возможность выражения одного вектора через линейную комбинацию двух других.

Предположим, что $\mathbf{AD} = \alpha \mathbf{AB} + \beta \mathbf{AC}$. Тогда:

$(6, 1, 0) = \alpha (6, -1, 2) + \beta (-1, 2, 0)$

Разложим по координатам:

1. По $x$: $6 = 6\alpha - \beta$
2. По $y$: $1 = -\alpha + 2\beta$
3. По $z$: $0 = 2\alpha + 0\beta = 2\alpha \implies \alpha = 0$

3. Решим систему для $\alpha$ и $\beta$:

Подставим $\alpha = 0$ в уравнения:

1. $6 = 6(0) - \beta \implies \beta = -6$
2. $1 = -0 + 2(-6) \implies 1 = -12$ — противоречие.

Вывод:

Векторы $\mathbf{AB}$, $\mathbf{AC}$, и $\mathbf{AD}$ не лежат в одной плоскости, и линейная комбинация невозможна.

Если нужно создать выражение для любого вектора в терминах других — уточните условия!

1. Что такое "линейная комбинация" для вас — зависимость или конкретное выражение?
2. Нужен ли расчёт коэффициентов для определённого вектора?
3. Хотите ли вы графическую интерпретацию?
4. Нужно ли проверить коллинеарность или базисное представление?
5. Как использовать результат — для анализа или задачи векторов?

Совет: Если точки и векторы включают противоречия, используйте анализ через матрицы ранга.