Чтобы найти линейную комбинацию векторов, нужно выразить один из векторов как линейную комбинацию других. Например, возьмем точки $A(-2, 0, 1)$, $B(4, -1, 3)$, $C(-3, 2, 1)$, и $D(4, 1, 1)$ и найдем их векторные представления.

Шаг 1. Найти векторы
Вектор $\vec{AB} = B - A$: $\vec{AB} = (4 - (-2), -1 - 0, 3 - 1) = (6, -1, 2)$

Вектор $\vec{AC} = C - A$: $\vec{AC} = (-3 - (-2), 2 - 0, 1 - 1) = (-1, 2, 0)$

Вектор $\vec{AD} = D - A$: $\vec{AD} = (4 - (-2), 1 - 0, 1 - 1) = (6, 1, 0)$

Шаг 2. Проверить зависимость векторов
Мы ищем линейную комбинацию $\vec{AD} = k_1 \vec{AB} + k_2 \vec{AC}$.
Это означает решение системы уравнений: $6 = 6k_1 - 1k_2,$ $1 = -1k_1 + 2k_2,$ $0 = 2k_1 + 0k_2.$

Шаг 3. Решить систему уравнений
Из третьего уравнения видно: $2k_1 = 0 \implies k_1 = 0.$

Подставляем $k_1 = 0$ в первые два уравнения: $6 = -1k_2 \implies k_2 = -6.$

$1 = 2k_2 \implies k_2 = -6.$

Ответ: $\vec{AD} = -6 \vec{AC}.$

Если хотите, могу подробно разобрать решение или найти другие комбинации.

Вопросы для размышления:

1. Как найти линейную зависимость трёх и более векторов?
2. Что означает ортогональность векторов в пространстве?
3. Как определить, лежат ли четыре точки в одной плоскости?
4. Какие ещё способы решения задачи о линейной комбинации существуют?
5. Как использовать метод матриц для определения линейной зависимости?

Совет: Всегда проверяйте результаты, чтобы избежать арифметических ошибок в вычислениях.