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### Aufgabe: Sind die folgenden Funktionen periodisch? Wenn ja, wie groß ist ihre Periode?

Wir analysieren jede Funktion einzeln, um festzustellen, ob sie periodisch ist und falls ja, berechnen wir die Periode.

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#### a) \( f(t) = |\sin(t)| + \sin(2t) \)

- \( \sin(t) \) hat eine Periode von \( 2\pi \).
- \( \sin(2t) \) hat eine Periode von \( \frac{2\pi}{2} = \pi \).
- \( |\sin(t)| \) hat aufgrund der Absolutwertbildung eine reduzierte Periode von \( \pi \), da der Absolutwert die Negativen Teile der Funktion in positive umwandelt.

Um die Periode der gesamten Funktion zu finden, müssen wir das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Perioden \( \pi \) und \( 2\pi \) bestimmen. Das kgV von \( \pi \) und \( 2\pi \) ist \( 2\pi \).

- **Antwort**: Die Funktion ist periodisch mit einer Periode von \( 2\pi \).

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#### b) \( f(t) = \cos(3t) + \sin(11t) \)

- \( \cos(3t) \) hat eine Periode von \( \frac{2\pi}{3} \).
- \( \sin(11t) \) hat eine Periode von \( \frac{2\pi}{11} \).

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Perioden \( \frac{2\pi}{3} \) und \( \frac{2\pi}{11} \) ist \( \frac{2\pi}{\text{kgV}(3,11)} \), wobei das kgV von 3 und 11 das Produkt \( 3 \times 11 = 33 \) ist.

- **Antwort**: Die Funktion ist periodisch mit einer Periode von \( \frac{2\pi}{33} \).

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#### c) \( f(t) = \sin(2,2t) - 3\cos(4t) \)

- \( \sin(2,2t) \) hat eine Periode von \( \frac{2\pi}{2,2} = \frac{10\pi}{11} \).
- \( \cos(4t) \) hat eine Periode von \( \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \).

Das kgV von \( \frac{10\pi}{11} \) und \( \frac{\pi}{2} \) ist schwieriger zu berechnen, aber weil die Verhältnisse irrational sind, gibt es kein endliches kgV.

- **Antwort**: Die Funktion ist **nicht periodisch**, da die Frequenzen irrational zueinander stehen.

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### Verwandte Fragen:
1. Was ist die allgemeine Methode zur Bestimmung der Periodizität einer Funktion?
2. Wie beeinflusst der Absolutwert die Periode einer Funktion?
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4. Was passiert mit der Periode, wenn man zwei periodische Funktionen addiert?
5. Kann eine Funktion mit irrationalen Verhältnissen periodisch sein?

**Tipp**: Um periodische Funktionen zu analysieren, lohnt es sich, die Einzelperioden der Komponentenfunktionen zu berechnen und dann das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Sind die folgenden Funktionen periodisch? Wenn ja, wie groß ist ihre Periode? a) f(t) = |sin(t)| + sin(2t) b) f(t) = cos(3t) + sin(11t) c) f(t) = sin(2,2t) - 3cos(4t)

Erfahre, ob trigonometrische Funktionen wie f(t) = |sin(t)| + sin(2t), cos(3t) + sin(11t), und sin(2,2t) - 3cos(4t) periodisch sind. Diese Aufgabe behandelt Periodizität, trigonometrische Identitäten und die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Geeignet für fortgeschrittene Schüler oder Studierende.

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