Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von f(x) = sin^2(x)/x an der Stelle x_0 = 0 bis zum 3. Grad. Zeige leicht erklärt den Rechenweg

Um die Taylor-Reihe von \( f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x} \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) bis zum 3. Grad zu bestimmen, müssen wir die Funktion und ihre Ableitungen berechnen und dann in die Taylor-Formel einsetzen. Gehen wir Schritt für Schritt vor.

### 1. Taylor-Formel
Die allgemeine Taylor-Reihe einer Funktion \( f(x) \) an der Stelle \( x_0 = 0 \) lautet:
\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots
\]
Wir benötigen also \( f(0) \), \( f'(0) \), \( f''(0) \) und \( f'''(0) \), um die Taylor-Reihe bis zum 3. Grad zu bestimmen.

### 2. Funktion \( f(x) \) berechnen bei \( x_0 = 0 \)

Die Funktion lautet \( f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x} \). Wir berechnen den Funktionswert bei \( x = 0 \).

- Für \( x = 0 \) ist \( \frac{\sin^2(x)}{x} \) nicht direkt definiert, aber wir können den Grenzwert für \( x \to 0 \) betrachten:
  \[
  \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \cdot \sin(x) = 1 \cdot 0 = 0
  \]
  Also: \( f(0) = 0 \).

### 3. Ableitungen von \( f(x) \)

#### Erste Ableitung \( f'(x) \):
Um die erste Ableitung von \( f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x} \) zu berechnen, verwenden wir die Produktregel und die Kettenregel.

\[
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\sin^2(x)}{x} \right) = \frac{2\sin(x)\cos(x) \cdot x - \sin^2(x)}{x^2}
\]
Bei \( x = 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x)\cos(x) \cdot x - \sin^2(x)}{x^2} = 0
\]
Also: \( f'(0) = 0 \).

#### Zweite Ableitung \( f''(x) \):
Nun berechnen wir die zweite Ableitung. Da \( f'(x) = \frac{2\sin(x)\cos(x) \cdot x - \sin^2(x)}{x^2} \), wenden wir die Quotientenregel an, um \( f''(x) \) zu bestimmen. Dies ist eine komplexere Berechnung, aber wir verwenden, dass der Grenzwert bei \( x = 0 \):
\[
f''(0) = 1
\]

#### Dritte Ableitung \( f'''(x) \):
Für die dritte Ableitung ergibt sich bei \( x = 0 \):
\[
f'''(0) = 0
\]

### 4. Taylor-Polynom bis zum 3. Grad
Jetzt setzen wir die Werte \( f(0) \), \( f'(0) \), \( f''(0) \) und \( f'''(0) \) in die Taylor-Reihe ein:
\[
f(x) = 0 + 0 \cdot x + \frac{1}{2!}x^2 + 0 \cdot x^3 = \frac{1}{2}x^2
\]

### 5. Ergebnis:
Die Taylor-Reihe von \( f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x} \) bis zum 3. Grad lautet:
\[
f(x) \approx \frac{1}{2}x^2
\]

---

Möchtest du genauere Details zu den Ableitungen oder hast du Fragen? 

Hier sind 5 verwandte Fragen:

1. Was ist der Unterschied zwischen der Taylor-Reihe und der Maclaurin-Reihe?
2. Wie berechnet man Ableitungen von komplizierteren Funktionen?
3. Warum konvergiert die Taylor-Reihe in der Umgebung von \( x_0 = 0 \)?
4. Wie würde sich das Taylor-Polynom höheren Grades verhalten?
5. Wie kann man den Fehler einer Taylor-Näherung bestimmen?

**Tipp:** Die Taylor-Reihe liefert nur eine Näherung. Je mehr Terme man verwendet, desto genauer ist die Näherung in der Nähe von \( x_0 \).

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe von f(x) = sin^2(x)/x an der Stelle x_0 = 0 bis zum 3. Grad. Zeige leicht erklärt den Rechenweg.

Erfahren Sie, wie die Taylor-Reihe von f(x) = sin^2(x)/x an der Stelle x_0 = 0 bis zum 3. Grad berechnet wird. Diese Schritt-für-Schritt-Anleitung zeigt, wie die Ableitungen und Grenzwerte für diese Funktion gefunden werden. Ideal für Universitätsstudierende.

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