Để giải bài 2b, ta cần tìm giá trị của \( m \) để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thoả mãn \( x^2 + y^2 = 5 \):

\[ \begin{cases}
3x - y = 2m + 3 \\
x + 2y = 3m + 1 
\end{cases} \]

### Bước 1: Tìm điều kiện để có nghiệm duy nhất
Hệ phương trình bậc nhất có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác 0. Ma trận hệ số của hệ phương trình này là:

\[ \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
1 & 2
\end{pmatrix} \]

Định thức \(\Delta\) được tính như sau:

\[ \Delta = 3 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7 \]

Vì \(\Delta = 7 \neq 0\), hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi giá trị của \( m \).

### Bước 2: Giải hệ phương trình với \( m \) tổng quát
Sử dụng quy tắc Cramer, ta tìm nghiệm \( (x, y) \).

Trước tiên, ta tìm các định thức của các ma trận thay cột tương ứng bằng các hằng số:

\[ \Delta_x = \begin{vmatrix}
2m + 3 & -1 \\
3m + 1 & 2
\end{vmatrix} = (2m + 3) \cdot 2 - (-1) \cdot (3m + 1) = 4m + 6 + 3m + 1 = 7m + 7 \]

\[ \Delta_y = \begin{vmatrix}
3 & 2m + 3 \\
1 & 3m + 1
\end{vmatrix} = 3 \cdot (3m + 1) - 1 \cdot (2m + 3) = 9m + 3 - 2m - 3 = 7m \]

Vậy nghiệm của hệ là:

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{7m + 7}{7} = m + 1 \]

\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{7m}{7} = m \]

### Bước 3: Kiểm tra điều kiện \( x^2 + y^2 = 5 \)
Thay \( x = m + 1 \) và \( y = m \):

\[ (m + 1)^2 + m^2 = 5 \]
\[ m^2 + 2m + 1 + m^2 = 5 \]
\[ 2m^2 + 2m + 1 = 5 \]
\[ 2m^2 + 2m - 4 = 0 \]
\[ m^2 + m - 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này:

\[ m^2 + m - 2 = (m + 2)(m - 1) = 0 \]

Vậy, \( m = -2 \) hoặc \( m = 1 \).

Do đó, các giá trị của \( m \) để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thoả mãn \( x^2 + y^2 = 5 \) là \( m = -2 \) hoặc \( m = 1 \).

Bạn có câu hỏi nào không hoặc cần thêm chi tiết không? Đây là 5 câu hỏi bạn có thể hỏi:

1. Bạn có thể giải phần (a) của Bài 2 giúp tôi không?
2. Làm thế nào để giải phần (a) của Bài 3?
3. Bạn có thể giúp giải các hệ phương trình trong Bài 1 không?
4. Phương pháp nào có thể dùng để giải hệ phương trình phi tuyến?
5. Làm thế nào để xác định hệ phương trình không có nghiệm, có một nghiệm hoặc vô số nghiệm?

**Mẹo:** Khi giải hệ phương trình, luôn kiểm tra định thức trước để đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất.

Learn how to solve a system of linear equations to find a unique solution using Cramer's Rule and determinant calculations. This problem involves systems of equations and determinants, suitable for Year 10 students in NSW, Australia.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation