Buktikan bahwa n^2<2^n,  untuk setiap n≥5,n∈N.

Untuk membuktikan bahwa \( n^2 < 2^n \) untuk setiap \( n \geq 5 \), \( n \in \mathbb{N} \), kita dapat menggunakan metode **induksi matematika**.

### Langkah 1: Basis Induksi
Periksa kebenaran untuk \( n = 5 \).

\[
n^2 = 5^2 = 25
\]
\[
2^n = 2^5 = 32
\]
Karena \( 25 < 32 \), pernyataan ini benar untuk \( n = 5 \).

### Langkah 2: Hipotesis Induksi
Misalkan pernyataan \( n^2 < 2^n \) benar untuk \( n = k \), yaitu:
\[
k^2 < 2^k
\]
Kita akan membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk \( n = k+1 \).

### Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa:
\[
(k+1)^2 < 2^{k+1}
\]
Ekspansi dari \( (k+1)^2 \):
\[
(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1
\]
Ekspansi dari \( 2^{k+1} \):
\[
2^{k+1} = 2 \cdot 2^k
\]

Karena kita mengasumsikan bahwa \( k^2 < 2^k \) dari hipotesis induksi, maka:
\[
k^2 + 2k + 1 < 2 \cdot 2^k
\]

Sekarang kita periksa apakah:
\[
2k + 1 < 2^k
\]
Ini adalah hal yang perlu kita buktikan. Untuk \( k \geq 5 \), kita periksa apakah \( 2k + 1 < 2^k \).

- Untuk \( k = 5 \):
\[
2k + 1 = 2(5) + 1 = 11
\]
\[
2^k = 2^5 = 32
\]
Jadi, \( 11 < 32 \), yang berarti pernyataan ini benar untuk \( k = 5 \).

- Untuk \( k \geq 6 \), nilai \( 2^k \) tumbuh jauh lebih cepat daripada \( 2k + 1 \), sehingga \( 2k + 1 < 2^k \) tetap benar.

### Kesimpulan:
Karena pernyataan benar untuk \( n = 5 \) dan langkah induksi juga berhasil, maka dengan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa \( n^2 < 2^n \) untuk setiap \( n \geq 5 \).

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lain terkait langkah-langkah ini?

**Soal terkait:**
1. Buktikan bahwa \( n^3 < 3^n \) untuk setiap \( n \geq 4 \).
2. Gunakan induksi untuk membuktikan bahwa \( n! < n^n \) untuk setiap \( n \geq 2 \).
3. Buktikan bahwa \( n^4 < 4^n \) untuk setiap \( n \geq 4 \).
4. Apakah berlaku bahwa \( n^5 < 5^n \) untuk \( n \geq 6 \)?
5. Cari batas bawah \( n \) untuk kesenjangan \( n^2 < 3^n \).

**Tip:** Dalam pembuktian induksi, selalu pastikan basis induksi (kasus awal) benar karena merupakan dasar seluruh argumen!

Buktikan bahwa n^2<2^n, untuk setiap n≥5,n∈N.

Pelajari cara membuktikan bahwa n^2 < 2^n untuk setiap n ≥ 5 menggunakan induksi matematika. Solusi ini melibatkan konsep pertumbuhan eksponensial dan dasar aljabar, cocok untuk siswa di kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation