Let a1, a2, ...,an be a sequence of integers. Show that there exist integers j and k with 1 ≤ j ≤ k ≤nsuchthatthesum k i=j ai is amultiple of n. jawab dengan bahasa indonesia

Misalkan \( a_1, a_2, ..., a_n \) adalah suatu barisan bilangan bulat. Kita diminta menunjukkan bahwa ada dua indeks \( j \) dan \( k \) dengan \( 1 \leq j \leq k \leq n \) sedemikian sehingga jumlah \( \sum_{i=j}^{k} a_i \) merupakan kelipatan dari \( n \).

### Langkah-langkah:

1. **Definisi Jumlah Parsial:**
   Misalkan \( S_i \) adalah jumlah parsial hingga suku ke-\( i \), yaitu:
   \[
   S_i = \sum_{k=1}^{i} a_k
   \]
   untuk \( i = 1, 2, ..., n \). Kita juga mendefinisikan \( S_0 = 0 \) sebagai jumlah parsial "nol" (tidak ada elemen yang dijumlahkan).

2. **Pentingnya Sisa Modulo \( n \):**
   Perhatikan bahwa jika ada dua jumlah parsial \( S_j \) dan \( S_k \) (dengan \( j < k \)) yang memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan \( n \), maka perbedaan jumlahnya, yaitu:
   \[
   S_k - S_j = \sum_{i=j+1}^{k} a_i
   \]
   akan menjadi kelipatan dari \( n \). Oleh karena itu, kita perlu mencari dua jumlah parsial yang memiliki sisa yang sama dalam modulo \( n \).

3. **Penerapan Prinsip Sarang Merpati (Pigeonhole Principle):**
   Ada \( n+1 \) jumlah parsial \( S_0, S_1, ..., S_n \), tetapi hanya ada \( n \) kemungkinan sisa jika kita membagi bilangan-bilangan tersebut dengan \( n \), yaitu sisa 0, 1, 2, ..., \( n-1 \). Berdasarkan prinsip sarang merpati, setidaknya ada dua jumlah parsial yang memiliki sisa yang sama ketika dibagi dengan \( n \).

4. **Kesimpulan:**
   Misalkan \( S_j \equiv S_k \ (\text{mod} \ n) \) dengan \( j < k \). Maka, selisih antara \( S_k \) dan \( S_j \) adalah:
   \[
   S_k - S_j = \sum_{i=j+1}^{k} a_i
   \]
   dan karena \( S_k \equiv S_j \ (\text{mod} \ n) \), maka \( S_k - S_j \) adalah kelipatan dari \( n \). Dengan demikian, kita telah menemukan indeks \( j \) dan \( k \) yang memenuhi syarat bahwa jumlah \( \sum_{i=j+1}^{k} a_i \) adalah kelipatan dari \( n \).

### Kesimpulan Akhir:
Berdasarkan prinsip sarang merpati dan properti jumlah parsial, selalu ada dua indeks \( j \) dan \( k \) sedemikian rupa sehingga jumlah \( \sum_{i=j+1}^{k} a_i \) merupakan kelipatan dari \( n \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan lain? Berikut 5 soal terkait yang bisa memperluas pemahaman Anda:

1. Bagaimana jika elemen-elemen dari barisan \( a_1, a_2, ..., a_n \) bukan bilangan bulat, tetapi bilangan rasional?
2. Dapatkah Anda menemukan contoh konkret dari barisan dengan \( n = 5 \) yang memenuhi kondisi ini?
3. Bagaimana penerapan prinsip sarang merpati dalam konteks lainnya di matematika?
4. Bagaimana cara memodifikasi bukti ini jika kita ingin jumlahnya merupakan kelipatan dari bilangan lain, bukan \( n \)?
5. Bagaimana jika \( a_1, a_2, ..., a_n \) adalah bilangan acak yang diambil dari distribusi tertentu?

**Tip:** Prinsip sarang merpati sering kali digunakan untuk membuktikan adanya properti tertentu dalam suatu himpunan besar, terutama ketika ada keterbatasan jumlah pilihan atau kategori.

Let a1, a2, ..., an be a sequence of integers. Show that there exist integers j and k with 1 ≤ j ≤ k ≤ n such that the sum from j to k of ai is a multiple of n. Jawab dengan bahasa Indonesia.

Pelajari bagaimana membuktikan bahwa dalam suatu barisan bilangan bulat a1, a2, ..., an, terdapat dua indeks j dan k sedemikian sehingga jumlah elemen dari j hingga k merupakan kelipatan dari n. Penjelasan menggunakan prinsip sarang merpati dan konsep jumlah parsial. Cocok untuk mahasiswa tingkat lanjut.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation